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Chapitre VII. Descente globale
Pour w ∈ W F , on fixe un élément g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw coïncide avec
w G sur ˆ
G
. On pose
t S (w) = ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1 .
C’est une cochaîne à valeurs dans ˆ
S. Ce n’est pas forcément un cocycle, mais son
image t S : W F → ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 en est un, parce que g(w) est bien déterminé modulo
ˆ
T
ˆ
θ,0 . Pour la même raison, ce cocycle ne dépend pas du choix de g w , ni de celui
des épinglages nécessaires pour définir les sections de Springer. Notons s l’image
de s dans ˆ
S ad = ˆ
S/Z( ˆ
G) ˆ
T ad . On vérifie que le couple (t S , s) est un élément de
Z
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ). Posons
P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad )
et notons encore (t S , s) la classe dans P du cocycle précédent. On a ainsi défini
une application
p :
J (H)
→
P
j = (G
, μ
, ω ¯
G ) → p(j) = (t S , s).
L’ensemble E ˆ
T ( ˜
G, ω, V ) est un ensemble de représentants de données endoscopiques modulo ˆ
T -équivalence. Evidemment, l’application ci-dessus peut se
définir sur toutes les données et pas seulement sur un ensemble de représentants. Montrons qu’alors, elle se quotiente par cette ˆ
T -équivalence. En effet, remplaçons la donnée G
précédente par une donnée ˆ
T -équivalente. Cette nouvelle
donnée est de la forme (G
, xG
x
−1 , xs ˆ
θ(x)
−1 z), avec x ∈ ˆ
T et z ∈ Z( ˆ
G). L’ensemble Stab( ˜
G
(F )) ne change pas et le couple (μ
, ω ¯
G ) est encore un élément
de cet ensemble. Dans les constructions précédentes, on peut remplacer le cocycle w → ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w)) par w → xˆ r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w))x
−1 et g w par
xg w x
−1 , donc g(w) par xg(w)w G (x)
−1 . Cela remplace t S (w) par
ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w))w G (x)g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1 x
−1 .
On a ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w))◦w G =w S sur ˆ
T , donc le terme précédent est w S (x)t S (w)x
−1
.
Evidemment, s est remplacé par (1 − ˆ
θ)(x)s. Mais le couple formé du cocycle
w → w S (x)t S (w)x
−1 et de l’élément (1 − ˆ
θ)(x)s est cohomologue à (t S , s), ce qui
démontre l’assertion.
On a des homomorphismes naturels
P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ) → H
0 (W F ; ˆ
S ad /(1 − ˆ
θ)( ˆ
S ad ))
→ H
0 (W F ; ˆ
S ¯
H ) = ˆ
S
ΓF
¯
H
.
On note p 1 leur composé.
Chapitre VII. Descente globale
Pour w ∈ W F , on fixe un élément g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw coïncide avec
w G sur ˆ
G
. On pose
t S (w) = ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1 .
C’est une cochaîne à valeurs dans ˆ
S. Ce n’est pas forcément un cocycle, mais son
image t S : W F → ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 en est un, parce que g(w) est bien déterminé modulo
ˆ
T
ˆ
θ,0 . Pour la même raison, ce cocycle ne dépend pas du choix de g w , ni de celui
des épinglages nécessaires pour définir les sections de Springer. Notons s l’image
de s dans ˆ
S ad = ˆ
S/Z( ˆ
G) ˆ
T ad . On vérifie que le couple (t S , s) est un élément de
Z
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ). Posons
P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad )
et notons encore (t S , s) la classe dans P du cocycle précédent. On a ainsi défini
une application
p :
J (H)
→
P
j = (G
, μ
, ω ¯
G ) → p(j) = (t S , s).
L’ensemble E ˆ
T ( ˜
G, ω, V ) est un ensemble de représentants de données endoscopiques modulo ˆ
T -équivalence. Evidemment, l’application ci-dessus peut se
définir sur toutes les données et pas seulement sur un ensemble de représentants. Montrons qu’alors, elle se quotiente par cette ˆ
T -équivalence. En effet, remplaçons la donnée G
précédente par une donnée ˆ
T -équivalente. Cette nouvelle
donnée est de la forme (G
, xG
x
−1 , xs ˆ
θ(x)
−1 z), avec x ∈ ˆ
T et z ∈ Z( ˆ
G). L’ensemble Stab( ˜
G
(F )) ne change pas et le couple (μ
, ω ¯
G ) est encore un élément
de cet ensemble. Dans les constructions précédentes, on peut remplacer le cocycle w → ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w)) par w → xˆ r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w))x
−1 et g w par
xg w x
−1 , donc g(w) par xg(w)w G (x)
−1 . Cela remplace t S (w) par
ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w))w G (x)g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1 x
−1 .
On a ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w))◦w G =w S sur ˆ
T , donc le terme précédent est w S (x)t S (w)x
−1
.
Evidemment, s est remplacé par (1 − ˆ
θ)(x)s. Mais le couple formé du cocycle
w → w S (x)t S (w)x
−1 et de l’élément (1 − ˆ
θ)(x)s est cohomologue à (t S , s), ce qui
démontre l’assertion.
On a des homomorphismes naturels
P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ) → H
0 (W F ; ˆ
S ad /(1 − ˆ
θ)( ˆ
S ad ))
→ H
0 (W F ; ˆ
S ¯
H ) = ˆ
S
ΓF
¯
H
.
On note p 1 leur composé.