VII.6. Calculs de facteurs de transfert
837
est dense. Il revient au même de dire que l’image de
H
0
ab (A
V∞
F ; G) dans H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G))
est dense, ou encore que l’image de G(A
V∞
F ) dans ce quotient est dense. A fortiori,
l’homomorphisme de l’énoncé est d’image dense. Cette image étant un sous-groupe
ouvert, elle est égale au groupe H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G)) tout entier.
ꘐ
VII.6.4 Fibres de la descente
On conserve la donnée H = ( ¯
H, ¯
H, ¯
s) ∈ E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G, V ) fixée en 5.3, soumise à la
condition D
rel
v = ∅ pour tout v ∈ V posée en 5.6. On veut décrire l’ensemble J (H).
On a fixé en 5.2 des paires de Borel des groupes ˆ ¯
G et ˆ ¯
H. On peut identifier le
tore ˆ ¯
T de la première paire à ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ) et celui de la seconde à ˆ ¯
T ad = ˆ ¯
T /Z( ˆ ¯
G).
Les actions galoisiennes sur ces tores sont de la forme σ → σ ¯
G = ω ¯
G (σ)σ G ∗ et
σ → σ ¯
H = ω ¯
H (σ)σ ¯
G , où ω ¯
G est un cocycle à valeurs dans W
θ et ω ¯
H est un cocycle
à valeurs dans W
¯
G . On a fixé en 5.6 une paire de Borel (B ¯
H , S ¯
H ) de ¯
H. On peut
identifier le tore dual ˆ
S ¯
H à ˆ ¯
T ad muni d’une action galoisienne σ S = ω S, ¯
H (σ)σ ¯
H ,
où ω S, ¯
H est un cocycle de Γ F dans W
¯
H . On pose
ω S (σ) = ω S, ¯
H (σ)ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ).
On vérifie que ω S : Γ F → W
θ est un cocycle pour l’action quasi-déployée σ → σ G ∗
de Γ F sur W
θ . Introduisons le tore ˆ
S isomorphe à ˆ
T , muni de l’action galoisienne
σ S = ω S (σ)σ G ∗ . Alors ˆ
S ¯
H s’identifie à ( ˆ
S/(1 − ˆ
θ)( ˆ
S))/Z( ˆ ¯
G). On fixe des χ-data
pour l’ensemble des racines du tore ˆ
S
ˆ
θ,0 dans ˆ
G
ˆ
θ,0 , définies sur F . On définit
comme dans le cas local (cf. [I] 2.2) une cochaîne
W F →
ˆ
G
ˆ
θ
SC
w → ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)) .
D’après [59] paragraphe 2.6, c’est un cocycle. Il prend ses valeurs dans le normalisateur de ˆ
T dans ˆ
G
ˆ
θ
SC . En le poussant en un cocycle à valeurs dans W
θ , on obtient
ω S (relevé en un cocycle défini sur W F ).
Considérons un élément (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J ( ¯
H). On écrit G
= (G
, G
, s ˆ
θ). On
se rappelle que ω ¯
G (σ)ω G (σ) = ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ) et que W
¯
H = W
G
(μ
). On pose
ω S,G (σ) = ω S, ¯
H (σ)ω ¯
G (σ). On vérifie que ω S,G est un cocycle de W F dans W
G
(muni de l’action galoisienne provenant de G
). Le tore ˆ
S
ˆ
θ,0 s’identifie au soustore maximal ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 de ˆ
G
. Par cette identification, l’action σ → σ S coïncide
avec σ → ω S,G (σ)σ G . Comme dans le cas local, des χ-data que l’on a fixées se
déduisent de telles données pour l’ensemble des racines du tore ˆ
S
ˆ
θ,0 dans le groupe
ˆ
G
. On définit comme ci-dessus le cocycle
W F →
ˆ
G
SC
w → ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w)) .
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est dense. Il revient au même de dire que l’image de
H
0
ab (A
V∞
F ; G) dans H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G))
est dense, ou encore que l’image de G(A
V∞
F ) dans ce quotient est dense. A fortiori,
l’homomorphisme de l’énoncé est d’image dense. Cette image étant un sous-groupe
ouvert, elle est égale au groupe H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G)) tout entier.
ꘐ
VII.6.4 Fibres de la descente
On conserve la donnée H = ( ¯
H, ¯
H, ¯
s) ∈ E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G, V ) fixée en 5.3, soumise à la
condition D
rel
v = ∅ pour tout v ∈ V posée en 5.6. On veut décrire l’ensemble J (H).
On a fixé en 5.2 des paires de Borel des groupes ˆ ¯
G et ˆ ¯
H. On peut identifier le
tore ˆ ¯
T de la première paire à ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ) et celui de la seconde à ˆ ¯
T ad = ˆ ¯
T /Z( ˆ ¯
G).
Les actions galoisiennes sur ces tores sont de la forme σ → σ ¯
G = ω ¯
G (σ)σ G ∗ et
σ → σ ¯
H = ω ¯
H (σ)σ ¯
G , où ω ¯
G est un cocycle à valeurs dans W
θ et ω ¯
H est un cocycle
à valeurs dans W
¯
G . On a fixé en 5.6 une paire de Borel (B ¯
H , S ¯
H ) de ¯
H. On peut
identifier le tore dual ˆ
S ¯
H à ˆ ¯
T ad muni d’une action galoisienne σ S = ω S, ¯
H (σ)σ ¯
H ,
où ω S, ¯
H est un cocycle de Γ F dans W
¯
H . On pose
ω S (σ) = ω S, ¯
H (σ)ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ).
On vérifie que ω S : Γ F → W
θ est un cocycle pour l’action quasi-déployée σ → σ G ∗
de Γ F sur W
θ . Introduisons le tore ˆ
S isomorphe à ˆ
T , muni de l’action galoisienne
σ S = ω S (σ)σ G ∗ . Alors ˆ
S ¯
H s’identifie à ( ˆ
S/(1 − ˆ
θ)( ˆ
S))/Z( ˆ ¯
G). On fixe des χ-data
pour l’ensemble des racines du tore ˆ
S
ˆ
θ,0 dans ˆ
G
ˆ
θ,0 , définies sur F . On définit
comme dans le cas local (cf. [I] 2.2) une cochaîne
W F →
ˆ
G
ˆ
θ
SC
w → ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)) .
D’après [59] paragraphe 2.6, c’est un cocycle. Il prend ses valeurs dans le normalisateur de ˆ
T dans ˆ
G
ˆ
θ
SC . En le poussant en un cocycle à valeurs dans W
θ , on obtient
ω S (relevé en un cocycle défini sur W F ).
Considérons un élément (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J ( ¯
H). On écrit G
= (G
, G
, s ˆ
θ). On
se rappelle que ω ¯
G (σ)ω G (σ) = ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ) et que W
¯
H = W
G
(μ
). On pose
ω S,G (σ) = ω S, ¯
H (σ)ω ¯
G (σ). On vérifie que ω S,G est un cocycle de W F dans W
G
(muni de l’action galoisienne provenant de G
). Le tore ˆ
S
ˆ
θ,0 s’identifie au soustore maximal ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 de ˆ
G
. Par cette identification, l’action σ → σ S coïncide
avec σ → ω S,G (σ)σ G . Comme dans le cas local, des χ-data que l’on a fixées se
déduisent de telles données pour l’ensemble des racines du tore ˆ
S
ˆ
θ,0 dans le groupe
ˆ
G
. On définit comme ci-dessus le cocycle
W F →
ˆ
G
SC
w → ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w)) .