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Chapitre VII. Descente globale
˜
G(F ), posons I γ = Z(G)
θ G γ . Fixons un sous-tore maximal T de G γ , notons T
son commutant dans G et T l’image réciproque de T dans G γ,SC . Alors les
groupes de cohomologie abélienne de I γ sont définis à l’aide du complexe T →
T
1−θ
→ (1 − θ)(T ). Par exemple, H
1
ab (F ; I γ ) = H
2,1,0 (F ; T → T
1−θ
→ (1 − θ)(T )).
L’homomorphisme de complexes
Z(G γ,SC ) → Z(I γ )
1−θ
→ (1 − θ)(Z(G))
↓
↓
↓
T
→
T
1−θ
→
(1 − θ)(T )
est un quasi-isomorphisme, c’est-à-dire qu’il s’en déduit des isomorphismes entre
groupes de cohomologie. Les considérations du paragraphe précédent s’étendent
aux complexes de longueur finie quelconque, avec les mêmes conséquences. Identifions W
Gγ au groupe de Weyl de T dans G γ et fixons un cocycle ω T : Γ F →
W
Gγ . Définissons le tore T
comme étant égal à T , muni de l’action galoisienne
σ → ω T ◦ σ. On définit de même les tores T
et T
. Alors on peut aussi bien
définir les groupes de cohomologie abélienne de I γ à l’aide du complexe de tores
T
→ T
1−θ
→ (1 − θ)(T
).
VII.6.3 Un lemme de densité
Il y a un homomorphisme naturel de H
0
ab (F ; G) dans H
0
ab (A F ; G) dont on note
l’image Im(H
0
ab (F ; G)). Cette image est discrète pour la topologie naturelle de
H
0
ab (A F ; G) ([48] lemme C.3.A). D’autre part, pour toute place v, il y a un homomorphisme naturel G(F v ) → G ab (F v ) = H
0
ab (F v ; G). Il est continu et ouvert. Il
est surjectif si v est finie. L’assertion 6.2(1) montre qu’il s’en déduit un homomorphisme G(A F ) → H
0
ab (A F ; G). Plus précisément, notons V ∞ l’ensemble des places
archimédiennes de F . En définissant de façon évidente le groupe H
0
ab (A
V∞
F ; G), l’assertion 6.2(1) montre que l’homomorphisme G(A
V∞
F ) → H
0
ab (A
V∞
F ; G) est continu,
ouvert et surjectif.
Lemme. L’homomorphisme
G(A F ) → H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G))
est continu, ouvert et surjectif.
Preuve. Le fait qu’il soit continu et ouvert résulte de ce que l’on a dit ci-dessus.
D’après le lemme C.5.A de [48], la projection de
Im(H
0
ab (F ; G)) dans
v∈V∞
H
0
ab (F v ; G)
Chapitre VII. Descente globale
˜
G(F ), posons I γ = Z(G)
θ G γ . Fixons un sous-tore maximal T de G γ , notons T
son commutant dans G et T l’image réciproque de T dans G γ,SC . Alors les
groupes de cohomologie abélienne de I γ sont définis à l’aide du complexe T →
T
1−θ
→ (1 − θ)(T ). Par exemple, H
1
ab (F ; I γ ) = H
2,1,0 (F ; T → T
1−θ
→ (1 − θ)(T )).
L’homomorphisme de complexes
Z(G γ,SC ) → Z(I γ )
1−θ
→ (1 − θ)(Z(G))
↓
↓
↓
T
→
T
1−θ
→
(1 − θ)(T )
est un quasi-isomorphisme, c’est-à-dire qu’il s’en déduit des isomorphismes entre
groupes de cohomologie. Les considérations du paragraphe précédent s’étendent
aux complexes de longueur finie quelconque, avec les mêmes conséquences. Identifions W
Gγ au groupe de Weyl de T dans G γ et fixons un cocycle ω T : Γ F →
W
Gγ . Définissons le tore T
comme étant égal à T , muni de l’action galoisienne
σ → ω T ◦ σ. On définit de même les tores T
et T
. Alors on peut aussi bien
définir les groupes de cohomologie abélienne de I γ à l’aide du complexe de tores
T
→ T
1−θ
→ (1 − θ)(T
).
VII.6.3 Un lemme de densité
Il y a un homomorphisme naturel de H
0
ab (F ; G) dans H
0
ab (A F ; G) dont on note
l’image Im(H
0
ab (F ; G)). Cette image est discrète pour la topologie naturelle de
H
0
ab (A F ; G) ([48] lemme C.3.A). D’autre part, pour toute place v, il y a un homomorphisme naturel G(F v ) → G ab (F v ) = H
0
ab (F v ; G). Il est continu et ouvert. Il
est surjectif si v est finie. L’assertion 6.2(1) montre qu’il s’en déduit un homomorphisme G(A F ) → H
0
ab (A F ; G). Plus précisément, notons V ∞ l’ensemble des places
archimédiennes de F . En définissant de façon évidente le groupe H
0
ab (A
V∞
F ; G), l’assertion 6.2(1) montre que l’homomorphisme G(A
V∞
F ) → H
0
ab (A
V∞
F ; G) est continu,
ouvert et surjectif.
Lemme. L’homomorphisme
G(A F ) → H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G))
est continu, ouvert et surjectif.
Preuve. Le fait qu’il soit continu et ouvert résulte de ce que l’on a dit ci-dessus.
D’après le lemme C.5.A de [48], la projection de
Im(H
0
ab (F ; G)) dans
v∈V∞
H
0
ab (F v ; G)