VII.6. Calculs de facteurs de transfert
835
On en déduit un isomorphisme
H
1,0 (A F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) H
1,0 (A F ; T
1
ϕ
→ T
2 ).
On a aussi un isomorphisme
H
1,0 (A F /F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) H
1,0 (A F /F ; T
1
ϕ
→ T
2 ).
La preuve est plus délicate mais routinière et on la laisse au lecteur. Tous ces isomorphismes sont «fonctoriels» et compatibles aux suites exactes de cohomologie.
VII.6.2 Groupes de cohomologie abélienne
On sait définir les groupes de cohomologie abélienne d’un groupe réductif connexe
défini sur F . Ce sont les groupes de cohomologie d’un complexe de tores. Considérons l’exemple de G. Fixons un sous-tore maximal T de G défini sur F . On peut
prendre pour complexe T sc → T . Ainsi, on définit H
0
ab (F ; G) = H
1,0 (F ; T sc → T ),
H
1
ab (F ; G) = H
2,1 (F ; T sc → T ). Les nombres (i + 1, i) en exposants indiquent que
ces groupes classifient des cocycles qui sont des paires de cochaînes, la première
étant de degré i + 1 à valeurs dans T sc , la seconde étant de degré i à valeurs dans
T . On définit de même les groupes H
i
ab (F v ; G) pour v ∈ Val(F ), H
i
ab (A F ; G) et
H
i
ab (A F /F ; G). Le choix du tore T n’importe pas. Plus généralement, introduisons
le tore T
∗ de G, muni de l’action quasi-déployée et fixons un cocycle ω T : Γ F → W .
Définissons le tore T
comme étant égal à T
∗ , mais muni de l’action galoisienne
σ → ω T (σ) ◦ σ G ∗ . On définit aussi T
sc comme étant égal à T
∗
sc muni de l’action
précédente. Le tore T
n’a pas de raison d’être isomorphe à un sous-tore de G mais
les considérations du paragraphe précédent montrent que l’on peut aussi bien définir les groupes de cohomologie abélienne de G à l’aide du complexe T
sc → T
.
En effet, les complexes T sc → T et T
sc → T
sont tous deux quasi-isomorphes au
complexe Z(G SC ) → Z(G).
Soit v ∈ Val(F ) − V . On peut choisir un sous-tore maximal T v de G défini
sur F v et non ramifié. On définit alors
H
i
ab (o v ; G) = H
i+1,i (o v ; T sc,v → T v ).
Cela ne dépend pas du choix de T v . On a H
1
ab (o v ; G) = {0} tandis que H
0
ab (o v ; G)
est l’image naturelle de T v (o v ) dans H
0
ab (F v ; G) ([48] lemme C.1.A ; rappelons que
H
0
ab (F v ; G) s’identifie à G(F v )/π(G SC (F v ))). L’assertion 1.5(2) peut se reformuler
ainsi
(1) H
0
ab (o v ; G) est l’image naturelle de K v dans H
0
ab (F v ; G).
On notera plus simplement G ab (F v ) = H
0
ab (F v ; G) et G ab (o v ) = H
0
ab (o v ; G).
La définition des groupes de cohomologie abélienne s’étend aux groupes non
connexes mais quasi-connexes, cf. [51] 1.6. Il faut dans ce cas utiliser des complexes
de tores de longueur 3. Considérons par exemple un élément semi-simple γ ∈
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On en déduit un isomorphisme
H
1,0 (A F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) H
1,0 (A F ; T
1
ϕ
→ T
2 ).
On a aussi un isomorphisme
H
1,0 (A F /F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) H
1,0 (A F /F ; T
1
ϕ
→ T
2 ).
La preuve est plus délicate mais routinière et on la laisse au lecteur. Tous ces isomorphismes sont «fonctoriels» et compatibles aux suites exactes de cohomologie.
VII.6.2 Groupes de cohomologie abélienne
On sait définir les groupes de cohomologie abélienne d’un groupe réductif connexe
défini sur F . Ce sont les groupes de cohomologie d’un complexe de tores. Considérons l’exemple de G. Fixons un sous-tore maximal T de G défini sur F . On peut
prendre pour complexe T sc → T . Ainsi, on définit H
0
ab (F ; G) = H
1,0 (F ; T sc → T ),
H
1
ab (F ; G) = H
2,1 (F ; T sc → T ). Les nombres (i + 1, i) en exposants indiquent que
ces groupes classifient des cocycles qui sont des paires de cochaînes, la première
étant de degré i + 1 à valeurs dans T sc , la seconde étant de degré i à valeurs dans
T . On définit de même les groupes H
i
ab (F v ; G) pour v ∈ Val(F ), H
i
ab (A F ; G) et
H
i
ab (A F /F ; G). Le choix du tore T n’importe pas. Plus généralement, introduisons
le tore T
∗ de G, muni de l’action quasi-déployée et fixons un cocycle ω T : Γ F → W .
Définissons le tore T
comme étant égal à T
∗ , mais muni de l’action galoisienne
σ → ω T (σ) ◦ σ G ∗ . On définit aussi T
sc comme étant égal à T
∗
sc muni de l’action
précédente. Le tore T
n’a pas de raison d’être isomorphe à un sous-tore de G mais
les considérations du paragraphe précédent montrent que l’on peut aussi bien définir les groupes de cohomologie abélienne de G à l’aide du complexe T
sc → T
.
En effet, les complexes T sc → T et T
sc → T
sont tous deux quasi-isomorphes au
complexe Z(G SC ) → Z(G).
Soit v ∈ Val(F ) − V . On peut choisir un sous-tore maximal T v de G défini
sur F v et non ramifié. On définit alors
H
i
ab (o v ; G) = H
i+1,i (o v ; T sc,v → T v ).
Cela ne dépend pas du choix de T v . On a H
1
ab (o v ; G) = {0} tandis que H
0
ab (o v ; G)
est l’image naturelle de T v (o v ) dans H
0
ab (F v ; G) ([48] lemme C.1.A ; rappelons que
H
0
ab (F v ; G) s’identifie à G(F v )/π(G SC (F v ))). L’assertion 1.5(2) peut se reformuler
ainsi
(1) H
0
ab (o v ; G) est l’image naturelle de K v dans H
0
ab (F v ; G).
On notera plus simplement G ab (F v ) = H
0
ab (F v ; G) et G ab (o v ) = H
0
ab (o v ; G).
La définition des groupes de cohomologie abélienne s’étend aux groupes non
connexes mais quasi-connexes, cf. [51] 1.6. Il faut dans ce cas utiliser des complexes
de tores de longueur 3. Considérons par exemple un élément semi-simple γ ∈