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Chapitre VII. Descente globale
où, pour deux groupes topologiques X et Y , Hom cont (X, Y ) désigne le groupe des
homomorphismes continus de X dans Y . Il y a une suite exacte
ˆ
T
ΓF
2
→ ˆ
T
ΓF
1
→ H
1,0 (W F ; ˆ
T 2
ˆ
ϕ
→ ˆ
T 1 ).
D’après le lemme C.2.C de [48], on a
(2) le noyau de (1) est l’image de ˆ
T
ΓF ,0
1
par le second homomorphise de la suite
ci-dessus.
Considérons maintenant
– deux autres tores T
1 et T
2 définis sur F et un homomorphisme ϕ
: T
1 → T
2
défini sur F ;
– deux groupes diagonalisables Z 1 et Z 2 définis sur F et un homomorphisme
ψ : Z 1 → Z 2 défini sur F ;
– des diagrammes commutatifs et équivariants pour les actions galoisiennes
Z 1
ψ
→ Z 2
Z 1
ψ
→ Z 2
↓
↓ et ↓
↓
T 1
ϕ
→ T 2
T
1
ϕ
→ T
2 .
On suppose que ces diagrammes sont des quasi-isomorphismes. Cela signifie
qu’il s’en déduit des isomorphismes entre groupes de cohomologie, c’est-à-dire
entre
– le noyau ker(ψ) et le noyau ker(ϕ), resp. ker(ϕ
) ;
– le conoyau coker(ψ) et le conoyau coker(ϕ), resp. coker(ϕ
).
On a alors des homomorphismes naturels
H
1,0 (F ; Z 1
ψ
→ Z 2 )
H
1,0 (F ; T 1
ϕ
→ T 2 )
H
1,0 (F ; T
1
ϕ
→ T
2 ) .
Les deux flèches descendantes sont des isomorphismes. On en déduit un isomorphisme
H
1,0 (F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) H
1,0 (F ; T
1
ϕ
→ T
2 ).
De même, pour toute place v, on a un isomorphisme
H
1,0 (F v ; T 1
ϕ
→ T 2 ) H
1,0 (F v ; T
1
ϕ
→ T
2 ).
On vérifie que, pour presque tout v, cet isomorphisme identifie H
1,0 (o v ; T 1
ϕ
→ T 2 )
à H
1,0 (o v ; T
1
ϕ
→ T
2 ).