VII.6. Calculs de facteurs de transfert
833
On a fixé le triplet (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H) au début du paragraphe précédent.
Faisons-le varier, en le notant j. Dans la formule ci-dessus, seul le terme δ[d V ]
en dépend, on le note désormais δ j [d V ]. En reprenant la définition de 5.3, la formule ci-dessus conduit à l’égalité
(2)
I
˜
G (A
˜
G,E (V, H, ω), f) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1 C( ˜
G)τ ( ¯
H)
−1
|W
¯
H
|
dV ∈ ˙
D rel
V
c[d V ]S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d V ])
횿
j∈J (H)
δ j [d V ].
VII.6 Calculs de facteurs de transfert
VII.6.1 Rappels cohomologiques
Rappelons quelques définitions usuelles. Soient T 1 et T 2 deux tores définis sur
F et ϕ : T 1 → T 2 un homomorphisme défini sur F . On définit les groupes de
cohomologie
– H
1,0 (F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) = H
1,0 (Γ F ; T 1 ( ¯
F )
ϕ
→ T 2 ( ¯
F )) ;
– H
1,0 (A F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) ; c’est la limite inductive sur les extensions galoisiennes
finies E de F des groupes H
1,0 (Gal(E/F ); T 1 (A E )
ϕ
→ T 2 (A E )) ; on peut aussi
dire qu’en notant A ¯
F la limite inductive des A E , c’est le groupe
H
1,0 (Γ F ; T 1 (A ¯
F )
ϕ
→ T 2 (A ¯
F ));
– H
1,0 (A F /F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) : c’est la limite inductive comme ci-dessus des groupes
H
1,0 (Gal(E/F ); T 1 (A E )/T 1 (E)
ϕ
→ T 2 (A E )/T 2 (E)) ; ou encore c’est le groupe
H
1,0 (Γ F ; T 1 (A ¯
F )/T 1 ( ¯
F )
ϕ
→ T 2 (A ¯
F )/T 2 ( ¯
F )) ;
– pour toute place v, H
1,0 (F v ; T 1
ϕ
→ T 2 ) = H
1,0 (Γ Fv ; T 1 (F v )
ϕ
→ T 2 (F v )) ;
– pour une place v finie où T 1 et T 2 sont non ramifiés, H
1,0 (o v ; T 1
ϕ
→ T 2 ) =
H
1,0 (Γ
nr
v ; T 1 (o
nr
v )
ϕ
→ T 2 (o
nr
v )) (on rappelle que Γ
nr
v = Gal(F
nr
v /F v )).
Ce dernier s’envoie injectivement dans H
1,0 (F v ; T 1
ϕ
→ T 2 ). Le groupe
H
1,0 (A F ; T 1
ϕ
→ T 2 )
est isomorphe au produit restreint des H
1,0 (F v ; T 1
ϕ
→ T 2 ), la restriction étant
relative aux sous-groupes H
1,0 (o v ; T 1
ϕ
→ T 2 ) définis pour presque tout v.
Dans l’appendice C de [48], Kottwitz et Shelstad définissent une topologie
sur H
1,0 (A F /F ; T 1
ϕ
→ T 2 ), qui en fait un groupe localement compact. Ils définissent un accouplement entre ce groupe et le groupe H
1,0 (W F ; ˆ
T 2
ˆ
ϕ
→ ˆ
T 1 ). De cet
accouplement se déduit un homomorphisme surjectif
(1)
H
1,0 (W F ; ˆ
T 2
ˆ
ϕ
→ ˆ
T 1 ) → Hom cont (H
1,0 (A F /F ; T 1
ϕ
→ T 2 ), C
× ),
833
On a fixé le triplet (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H) au début du paragraphe précédent.
Faisons-le varier, en le notant j. Dans la formule ci-dessus, seul le terme δ[d V ]
en dépend, on le note désormais δ j [d V ]. En reprenant la définition de 5.3, la formule ci-dessus conduit à l’égalité
(2)
I
˜
G (A
˜
G,E (V, H, ω), f) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1 C( ˜
G)τ ( ¯
H)
−1
|W
¯
H
|
dV ∈ ˙
D rel
V
c[d V ]S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d V ])
횿
j∈J (H)
δ j [d V ].
VII.6 Calculs de facteurs de transfert
VII.6.1 Rappels cohomologiques
Rappelons quelques définitions usuelles. Soient T 1 et T 2 deux tores définis sur
F et ϕ : T 1 → T 2 un homomorphisme défini sur F . On définit les groupes de
cohomologie
– H
1,0 (F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) = H
1,0 (Γ F ; T 1 ( ¯
F )
ϕ
→ T 2 ( ¯
F )) ;
– H
1,0 (A F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) ; c’est la limite inductive sur les extensions galoisiennes
finies E de F des groupes H
1,0 (Gal(E/F ); T 1 (A E )
ϕ
→ T 2 (A E )) ; on peut aussi
dire qu’en notant A ¯
F la limite inductive des A E , c’est le groupe
H
1,0 (Γ F ; T 1 (A ¯
F )
ϕ
→ T 2 (A ¯
F ));
– H
1,0 (A F /F ; T 1
ϕ
→ T 2 ) : c’est la limite inductive comme ci-dessus des groupes
H
1,0 (Gal(E/F ); T 1 (A E )/T 1 (E)
ϕ
→ T 2 (A E )/T 2 (E)) ; ou encore c’est le groupe
H
1,0 (Γ F ; T 1 (A ¯
F )/T 1 ( ¯
F )
ϕ
→ T 2 (A ¯
F )/T 2 ( ¯
F )) ;
– pour toute place v, H
1,0 (F v ; T 1
ϕ
→ T 2 ) = H
1,0 (Γ Fv ; T 1 (F v )
ϕ
→ T 2 (F v )) ;
– pour une place v finie où T 1 et T 2 sont non ramifiés, H
1,0 (o v ; T 1
ϕ
→ T 2 ) =
H
1,0 (Γ
nr
v ; T 1 (o
nr
v )
ϕ
→ T 2 (o
nr
v )) (on rappelle que Γ
nr
v = Gal(F
nr
v /F v )).
Ce dernier s’envoie injectivement dans H
1,0 (F v ; T 1
ϕ
→ T 2 ). Le groupe
H
1,0 (A F ; T 1
ϕ
→ T 2 )
est isomorphe au produit restreint des H
1,0 (F v ; T 1
ϕ
→ T 2 ), la restriction étant
relative aux sous-groupes H
1,0 (o v ; T 1
ϕ
→ T 2 ) définis pour presque tout v.
Dans l’appendice C de [48], Kottwitz et Shelstad définissent une topologie
sur H
1,0 (A F /F ; T 1
ϕ
→ T 2 ), qui en fait un groupe localement compact. Ils définissent un accouplement entre ce groupe et le groupe H
1,0 (W F ; ˆ
T 2
ˆ
ϕ
→ ˆ
T 1 ). De cet
accouplement se déduit un homomorphisme surjectif
(1)
H
1,0 (W F ; ˆ
T 2
ˆ
ϕ
→ ˆ
T 1 ) → Hom cont (H
1,0 (A F /F ; T 1
ϕ
→ T 2 ), C
× ),