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Chapitre VII. Descente globale
avec la notation de 5.7 où on supprime les indices j. Fixons un ensemble de représentants ˙
D
rel
V dans D
rel
V de l’ensemble de doubles classes
I η ( ¯
F V )\D
rel
V /G(F V ).
La formule [III] 5.2(6) nous dit que
¯
f sc =
dV ∈ ˙
D rel
V
c[d V ]δ[d V ] ¯
f [d V ] sc .
Plus exactement, les intégrales orbitales stables des deux membres coïncident dans
un voisinage de l’élément neutre de ¯
H SC (F V ).
Remarque. Cette formule, qui est issue de [79] 3.11, nécessite certaines compatibilités dans nos choix de mesures. Précisément, les mesures sur G
(F V ) et G
,SC (F V )
se déduisent l’une de l’autre par le choix d’une mesure sur z(G
; F V ) ; les mesures
sur G η[dV ] (F V ) et G η[dV ],SC (F V ) se déduisent l’une de l’autre par le choix d’une
mesure sur z(G η[dV ] ; F V ) ; les mesures sur ¯
H(F V ) et ¯
H SC (F V ) se déduisent l’une
de l’autre par le choix d’une mesure sur z( ¯
H; F V ). Alors les mesures sur z(G
; F V ),
z(G η[dV ] ; F V ) et z( ¯
H; F V ) doivent être compatibles avec l’isomorphisme
z(G
; F V ) z(G η[dV ] ; F V ) ⊕ z( ¯
H; F V )
déduit du diagramme 5.2(1). Cette compatibilité est assurée par le choix fait cidessus des mesures sur G η[dV ] (F V ) et G η[dV ],SC (F V ) et par le choix des mesures
de Tamagawa sur les autres groupes, cf. lemme 4.2(ii).
On a donc
S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f sc ) =
dV ∈ ˙
D rel
V
c[d V ]δ[d V ]S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f [d V ] sc ).
Appliquons la proposition 4.6. Elle se simplifie ici. En effet, puisque H est une donnée endoscopique elliptique de ¯
G SC , on a A ¯
H = A ¯
GSC = {1}, donc τ
( ¯
H) = τ ( ¯
H).
On a de même A ¯
HSC = {1}, donc τ
( ¯
H SC ) = τ ( ¯
H SC ) = 1 d’après le théorème de
Lai ([52] théorème 1.2). On obtient que ι
∗
¯
HSC , ¯
H
(SA
¯
HSC
unip (V )) = τ ( ¯
H)
−1 SA
¯
H
unip (V ).
Pour tout d V ∈ ˙
D
rel
V , on a alors l’égalité
S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f [d V ] sc ) = τ ( ¯
H)
−1 S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d V ]).
La formule (1) se récrit
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= C( ˜
G)|W
¯
H
|τ ( ¯
H)
−1
dV ∈ ˙
D rel
V
c[d V ]δ[d V ]S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d V ]).
Chapitre VII. Descente globale
avec la notation de 5.7 où on supprime les indices j. Fixons un ensemble de représentants ˙
D
rel
V dans D
rel
V de l’ensemble de doubles classes
I η ( ¯
F V )\D
rel
V /G(F V ).
La formule [III] 5.2(6) nous dit que
¯
f sc =
dV ∈ ˙
D rel
V
c[d V ]δ[d V ] ¯
f [d V ] sc .
Plus exactement, les intégrales orbitales stables des deux membres coïncident dans
un voisinage de l’élément neutre de ¯
H SC (F V ).
Remarque. Cette formule, qui est issue de [79] 3.11, nécessite certaines compatibilités dans nos choix de mesures. Précisément, les mesures sur G
(F V ) et G
,SC (F V )
se déduisent l’une de l’autre par le choix d’une mesure sur z(G
; F V ) ; les mesures
sur G η[dV ] (F V ) et G η[dV ],SC (F V ) se déduisent l’une de l’autre par le choix d’une
mesure sur z(G η[dV ] ; F V ) ; les mesures sur ¯
H(F V ) et ¯
H SC (F V ) se déduisent l’une
de l’autre par le choix d’une mesure sur z( ¯
H; F V ). Alors les mesures sur z(G
; F V ),
z(G η[dV ] ; F V ) et z( ¯
H; F V ) doivent être compatibles avec l’isomorphisme
z(G
; F V ) z(G η[dV ] ; F V ) ⊕ z( ¯
H; F V )
déduit du diagramme 5.2(1). Cette compatibilité est assurée par le choix fait cidessus des mesures sur G η[dV ] (F V ) et G η[dV ],SC (F V ) et par le choix des mesures
de Tamagawa sur les autres groupes, cf. lemme 4.2(ii).
On a donc
S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f sc ) =
dV ∈ ˙
D rel
V
c[d V ]δ[d V ]S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f [d V ] sc ).
Appliquons la proposition 4.6. Elle se simplifie ici. En effet, puisque H est une donnée endoscopique elliptique de ¯
G SC , on a A ¯
H = A ¯
GSC = {1}, donc τ
( ¯
H) = τ ( ¯
H).
On a de même A ¯
HSC = {1}, donc τ
( ¯
H SC ) = τ ( ¯
H SC ) = 1 d’après le théorème de
Lai ([52] théorème 1.2). On obtient que ι
∗
¯
HSC , ¯
H
(SA
¯
HSC
unip (V )) = τ ( ¯
H)
−1 SA
¯
H
unip (V ).
Pour tout d V ∈ ˙
D
rel
V , on a alors l’égalité
S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f [d V ] sc ) = τ ( ¯
H)
−1 S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d V ]).
La formule (1) se récrit
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= C( ˜
G)|W
¯
H
|τ ( ¯
H)
−1
dV ∈ ˙
D rel
V
c[d V ]δ[d V ]S
¯
H (SA
¯
H
unip (V ), ¯
f [d V ]).