VII.5. Descente
831
SI(g
,SC (F V )) et SI( ¯
h SC (F V )). Via l’exponentielle, on déduit de celui-ci un isomorphisme entre deux sous-espaces de SI(G
,SC (F V )) et SI( ¯
H SC (F V )), à savoir
les sous-espaces de fonctions à support dans des voisinages convenables des éléments neutres. Comme pour les homomorphismes de descente, il est plus commode
de considérer cet isomorphisme comme une correspondance entre SI(G
,SC (F V ))
et SI( ¯
H SC (F V )). Introduisons la fonction ¯
f sc ∈ SI( ¯
H SC (F V )) qui correspond
ainsi par endoscopie non standard à f ,sc ∈ SI(G
,SC (F V )). Ses intégrales orbitales stables n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre de ¯
H SC (F V ) mais
cela nous suffit. Le théorème [VI] 5.6 transforme l’expression (4) du paragraphe
précédent en
(1)
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= C( ˜
G)|W
¯
H
|S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f sc ).
Si V était réduit à une seule place, la fonction ¯
f sc serait calculée par la formule
[III] 5.2(6). Dans cette référence, le corps de base était non-archimédien. Comme
on l’a dit en [V] 4.1, le même calcul vaut sur un corps de base archimédien.
Dans ce cas, parce qu’on remonte nos fonctions au revêtement simplement connexe
¯
H SC , l’exponentielle pertubatrice du (ii) du théorème 5.7 disparaît. Le résultat
pour notre ensemble fini V de places s’ensuit, en faisant le produit sur tous les
v ∈ V . Décrivons-le. Soit d V = (d v ) v∈V ∈ D
rel
V . Puisqu’on a fait disparaître les
espaces de mesures, on suppose implicitement fixées des mesures sur les groupes
G η[dV ] (F V ) et G η[dV ],SC (F V ) (le choix fait en 4.1 des mesures de Tamagawa ne
vaut pas ici puisque les groupes G η[dV ] et G η[dV ],SC ne sont pas définis sur F ).
Elles se déduisent de mesures sur les algèbres de Lie des groupes en question. On
a l’isomorphisme
g η[dV ] (F V ) z( ¯
G; F V ) ⊕ g η[dV ],SC (F V ).
Or Z( ¯
G)
0 est défini sur F , on munit donc z( ¯
G; F V ) de la mesure de Tamagawa. On
suppose que l’isomorphisme ci-dessus est compatible aux mesures. Posons f [d V ] =
desc
˜
G
η[dV ] (f ), cf. [I] 4.1 pour la définition de l’homomorphisme de descente desc
˜
G
η[dV ] .
C’est un élément de I(G η[dV ] (F V ), ω). Posons f [d V ] sc = ι G η[d V ],SC ,G η[d V ] (f [d V ]).
C’est un élément de I(G η[dV ],SC (F V )). On a fixé le facteur de transfert Δ[d V ] en
5.7 (on supprime l’indice j de cette référence). Notons ¯
f [d V ] le transfert de f [d V ] sc
à ¯
H(F V ). C’est un élément de SI( ¯
H(F V )). On note ¯
f [d V ] sc son image par ι ¯
HSC , ¯
H .
C’est un élément de SI( ¯
H SC (F V )). Posons
c[d V ] = [I η[dV ] (F V ) : G η[dV ] (F V )]
−1
et
δ[d V ] =
v∈V
δ[d v ],
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SI(g
,SC (F V )) et SI( ¯
h SC (F V )). Via l’exponentielle, on déduit de celui-ci un isomorphisme entre deux sous-espaces de SI(G
,SC (F V )) et SI( ¯
H SC (F V )), à savoir
les sous-espaces de fonctions à support dans des voisinages convenables des éléments neutres. Comme pour les homomorphismes de descente, il est plus commode
de considérer cet isomorphisme comme une correspondance entre SI(G
,SC (F V ))
et SI( ¯
H SC (F V )). Introduisons la fonction ¯
f sc ∈ SI( ¯
H SC (F V )) qui correspond
ainsi par endoscopie non standard à f ,sc ∈ SI(G
,SC (F V )). Ses intégrales orbitales stables n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre de ¯
H SC (F V ) mais
cela nous suffit. Le théorème [VI] 5.6 transforme l’expression (4) du paragraphe
précédent en
(1)
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= C( ˜
G)|W
¯
H
|S
¯
HSC (SA
¯
HSC
unip (V ), ¯
f sc ).
Si V était réduit à une seule place, la fonction ¯
f sc serait calculée par la formule
[III] 5.2(6). Dans cette référence, le corps de base était non-archimédien. Comme
on l’a dit en [V] 4.1, le même calcul vaut sur un corps de base archimédien.
Dans ce cas, parce qu’on remonte nos fonctions au revêtement simplement connexe
¯
H SC , l’exponentielle pertubatrice du (ii) du théorème 5.7 disparaît. Le résultat
pour notre ensemble fini V de places s’ensuit, en faisant le produit sur tous les
v ∈ V . Décrivons-le. Soit d V = (d v ) v∈V ∈ D
rel
V . Puisqu’on a fait disparaître les
espaces de mesures, on suppose implicitement fixées des mesures sur les groupes
G η[dV ] (F V ) et G η[dV ],SC (F V ) (le choix fait en 4.1 des mesures de Tamagawa ne
vaut pas ici puisque les groupes G η[dV ] et G η[dV ],SC ne sont pas définis sur F ).
Elles se déduisent de mesures sur les algèbres de Lie des groupes en question. On
a l’isomorphisme
g η[dV ] (F V ) z( ¯
G; F V ) ⊕ g η[dV ],SC (F V ).
Or Z( ¯
G)
0 est défini sur F , on munit donc z( ¯
G; F V ) de la mesure de Tamagawa. On
suppose que l’isomorphisme ci-dessus est compatible aux mesures. Posons f [d V ] =
desc
˜
G
η[dV ] (f ), cf. [I] 4.1 pour la définition de l’homomorphisme de descente desc
˜
G
η[dV ] .
C’est un élément de I(G η[dV ] (F V ), ω). Posons f [d V ] sc = ι G η[d V ],SC ,G η[d V ] (f [d V ]).
C’est un élément de I(G η[dV ],SC (F V )). On a fixé le facteur de transfert Δ[d V ] en
5.7 (on supprime l’indice j de cette référence). Notons ¯
f [d V ] le transfert de f [d V ] sc
à ¯
H(F V ). C’est un élément de SI( ¯
H(F V )). On note ¯
f [d V ] sc son image par ι ¯
HSC , ¯
H .
C’est un élément de SI( ¯
H SC (F V )). Posons
c[d V ] = [I η[dV ] (F V ) : G η[dV ] (F V )]
−1
et
δ[d V ] =
v∈V
δ[d v ],