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Chapitre VII. Descente globale
– w = ω ¯
G (σ)σ G ∗ (w)ω ¯
G (σ)
−1 pour tout σ ∈ Γ F .
Ces trois conditions caractérisent le groupe Stab
G
(μ
, ω ¯
G ), cf. 5.1. D’où (4).
En utilisant (2), (3) et (4), la formule (1) se récrit
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
) = τ
(G
)| Fix
G
(μ
, ω ¯
G )|
−1 S
G
,sc (SA
G
,sc
unip (V ), f ,sc ).
Rappelons la formule
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G ) = i( ˜
G, ˜
G
)| Out(G
)||W
G
(μ
)|| Fix
G
(μ
, ω ¯
G )|
de 5.1(5) et la définition
i( ˜
G, ˜
G
) = | Out(G
)|
−1
| det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1 τ (G)τ (G
)
−1
|π 0 ((Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )|
de [VI] 5.1. Le groupe W
G
(μ
) s’identifie à W
¯
H . On a l’égalité
τ
(G
) = covol(A G ,Z )
−1 τ (G
).
On a supposé que l’isomorphisme A ˜
G A G préservait les mesures. Il transforme le réseau A ˜
G,Z = Hom(X
∗ (G)
ΓF ,θ , Z) en le réseau A G ,Z car, dualement,
Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 = Z( ˆ
G
)
ΓF ,0 . Il en résulte que covol(A G ,Z ) = covol(A ˜
G,Z ), avec une
définition évidente de ce dernier terme. Posons
C( ˜
G) = | det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1 τ (G) covol(A ˜
G,Z )
−1
|π 0 ((Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )|.
On obtient alors l’égalité
(4)
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= C( ˜
G)|W
¯
H
|S
G
,sc (SA
G
,sc
unip (V ), f ,sc ).
VII.5.9 Utilisation du théorème [VI] 5.6
On poursuit notre calcul. Les deux groupes ¯
H SC et G
,SC sont en situation d’endoscopie non standard. Plus précisément, notons j ∗ : X ∗,Q (T
¯
H
sc ) → X ∗,Q (T ,sc )
l’isomorphisme déduit du diagramme 5.2(1). Alors ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) est un triplet endoscopique non standard. L’hypothèse X ∈ Stab excep ( ˜
G(F )) implique que
N ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) < dim(G SC ), cf. [III] lemme 6.3. Nos hypothèses de récurrence
permettent d’appliquer le théorème [VI] 5.6. On voit aisément que V vérifie les
conditions de non-ramification imposées dans cette référence. Il n’y a pas d’isomorphisme entre SI(G
,SC (F V )) et SI( ¯
H SC (F V )) mais il y en a un par contre entre
Chapitre VII. Descente globale
– w = ω ¯
G (σ)σ G ∗ (w)ω ¯
G (σ)
−1 pour tout σ ∈ Γ F .
Ces trois conditions caractérisent le groupe Stab
G
(μ
, ω ¯
G ), cf. 5.1. D’où (4).
En utilisant (2), (3) et (4), la formule (1) se récrit
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
) = τ
(G
)| Fix
G
(μ
, ω ¯
G )|
−1 S
G
,sc (SA
G
,sc
unip (V ), f ,sc ).
Rappelons la formule
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G ) = i( ˜
G, ˜
G
)| Out(G
)||W
G
(μ
)|| Fix
G
(μ
, ω ¯
G )|
de 5.1(5) et la définition
i( ˜
G, ˜
G
) = | Out(G
)|
−1
| det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1 τ (G)τ (G
)
−1
|π 0 ((Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )|
de [VI] 5.1. Le groupe W
G
(μ
) s’identifie à W
¯
H . On a l’égalité
τ
(G
) = covol(A G ,Z )
−1 τ (G
).
On a supposé que l’isomorphisme A ˜
G A G préservait les mesures. Il transforme le réseau A ˜
G,Z = Hom(X
∗ (G)
ΓF ,θ , Z) en le réseau A G ,Z car, dualement,
Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 = Z( ˆ
G
)
ΓF ,0 . Il en résulte que covol(A G ,Z ) = covol(A ˜
G,Z ), avec une
définition évidente de ce dernier terme. Posons
C( ˜
G) = | det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1 τ (G) covol(A ˜
G,Z )
−1
|π 0 ((Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )|.
On obtient alors l’égalité
(4)
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= C( ˜
G)|W
¯
H
|S
G
,sc (SA
G
,sc
unip (V ), f ,sc ).
VII.5.9 Utilisation du théorème [VI] 5.6
On poursuit notre calcul. Les deux groupes ¯
H SC et G
,SC sont en situation d’endoscopie non standard. Plus précisément, notons j ∗ : X ∗,Q (T
¯
H
sc ) → X ∗,Q (T ,sc )
l’isomorphisme déduit du diagramme 5.2(1). Alors ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) est un triplet endoscopique non standard. L’hypothèse X ∈ Stab excep ( ˜
G(F )) implique que
N ( ¯
H SC , G
,SC , j ∗ ) < dim(G SC ), cf. [III] lemme 6.3. Nos hypothèses de récurrence
permettent d’appliquer le théorème [VI] 5.6. On voit aisément que V vérifie les
conditions de non-ramification imposées dans cette référence. Il n’y a pas d’isomorphisme entre SI(G
,SC (F V )) et SI( ¯
H SC (F V )) mais il y en a un par contre entre