VII.5. Descente
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définit une application Z G () → C 1 . On voit que c’est un homomorphisme. Par
ailleurs, le groupe G
1,,1 s’envoie surjectivement sur G
et est l’image réciproque
de ce groupe dans G
1 . La suite suivante est donc exacte
1 → Ξ 1 → Ξ → C 1 .
D’où aussi une suite exacte
1 → Ξ
ΓF
1 → Ξ
ΓF
→ C 1 (F ).
Il suffit de montrer que l’image du second homomorphisme est exactement Fix(X
1 ).
Soit x ∈ Z G () dont l’image dans Ξ est fixe par Γ F . Ecrivons xx 1 x
−1 = cc 1 . La
condition sur x implique que xx 1 x
−1 est stablement conjugué à 1 . Donc c ∈
Fix(X
1 ). Inversement, si c ∈ Fix(X
1 ), il existe u ∈ G
1 tel que u
−1 1 u = cc 1
et uσ(u)
−1
∈ G
1,,1 pour tout σ ∈ Γ F . Soit x l’image de u dans G
. La première
condition sur u entraîne que x appartient à Z G () et la seconde condition entraîne
que l’image de x dans Ξ est fixe par Γ F . Cela prouve (3).
Montrons que
(4)
|Ξ
ΓF
| = | Fix
G
(μ
, ω ¯
G )| .
On utilise la paire de Borel (B , T ) du lemme 1.3 pour construire (μ , ω )
comme en 1.2. Rappelons que ce couple est égal à (μ
, ω ¯
G ) par définition de et
(B , T ). A l’aide de la paire (B , T ), on identifie W
G
au groupe de Weyl de T
dans g
. Il y a donc deux actions galoisiennes sur W
G
: l’action quasi-déployée
notée σ → σ G ∗ et celle provenant de l’action naturelle sur le normalisateur de T ,
que l’on note σ → σ. Complètons (B , T ) en une paire de Borel épinglée E . L’action galoisienne σ → σ G ∗ = u E (σ)◦σ conserve E . Parce que T est défini sur F , il
en résulte que u E (σ) normalise T . Parce que B ∩ G
est défini sur F , la cochaîne
u de la construction de 1.2 est à valeurs dans T ,sc . On voit alors que, parce que
(μ , ω ) = (μ
, ω ¯
G ), l’image dans W
G
de u E (σ)
−1 est ω ¯
G (σ). Il en résulte que,
pour w ∈ W
G
et σ ∈ Γ F , on a l’égalité σ(w) = ω ¯
G (σ)σ G ∗ (w)ω ¯
G (σ)
−1 .
Notons N l’ensemble des éléments n ∈ G
tels que ad n conserve et la paire
(B ∩ G
, T ). Il est inclus dans Z G () et on voit que cette inclusion se quotiente
en un isomorphisme
N/T Ξ .
Cet isomorphisme identifie Ξ
ΓF
au sous-groupe des éléments de N/T fixes par
l’action galoisienne naturelle. D’autre part, N/T est un sous-ensemble de W
G
.
On voit que c’est l’ensemble des w ∈ W
G
tels que
– w(μ
) = μ
(cela traduit la condition que ad n conserve ) ;
– w(Σ + (μ
)) = Σ + (μ
) (cela traduit la condition que ad n conserve la paire
(B ∩ G
, T )).
D’après ce que l’on a dit ci-dessus, l’element w est fixe par l’action galoisienne
naturelle si et seulement si
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définit une application Z G () → C 1 . On voit que c’est un homomorphisme. Par
ailleurs, le groupe G
1,,1 s’envoie surjectivement sur G
et est l’image réciproque
de ce groupe dans G
1 . La suite suivante est donc exacte
1 → Ξ 1 → Ξ → C 1 .
D’où aussi une suite exacte
1 → Ξ
ΓF
1 → Ξ
ΓF
→ C 1 (F ).
Il suffit de montrer que l’image du second homomorphisme est exactement Fix(X
1 ).
Soit x ∈ Z G () dont l’image dans Ξ est fixe par Γ F . Ecrivons xx 1 x
−1 = cc 1 . La
condition sur x implique que xx 1 x
−1 est stablement conjugué à 1 . Donc c ∈
Fix(X
1 ). Inversement, si c ∈ Fix(X
1 ), il existe u ∈ G
1 tel que u
−1 1 u = cc 1
et uσ(u)
−1
∈ G
1,,1 pour tout σ ∈ Γ F . Soit x l’image de u dans G
. La première
condition sur u entraîne que x appartient à Z G () et la seconde condition entraîne
que l’image de x dans Ξ est fixe par Γ F . Cela prouve (3).
Montrons que
(4)
|Ξ
ΓF
| = | Fix
G
(μ
, ω ¯
G )| .
On utilise la paire de Borel (B , T ) du lemme 1.3 pour construire (μ , ω )
comme en 1.2. Rappelons que ce couple est égal à (μ
, ω ¯
G ) par définition de et
(B , T ). A l’aide de la paire (B , T ), on identifie W
G
au groupe de Weyl de T
dans g
. Il y a donc deux actions galoisiennes sur W
G
: l’action quasi-déployée
notée σ → σ G ∗ et celle provenant de l’action naturelle sur le normalisateur de T ,
que l’on note σ → σ. Complètons (B , T ) en une paire de Borel épinglée E . L’action galoisienne σ → σ G ∗ = u E (σ)◦σ conserve E . Parce que T est défini sur F , il
en résulte que u E (σ) normalise T . Parce que B ∩ G
est défini sur F , la cochaîne
u de la construction de 1.2 est à valeurs dans T ,sc . On voit alors que, parce que
(μ , ω ) = (μ
, ω ¯
G ), l’image dans W
G
de u E (σ)
−1 est ω ¯
G (σ). Il en résulte que,
pour w ∈ W
G
et σ ∈ Γ F , on a l’égalité σ(w) = ω ¯
G (σ)σ G ∗ (w)ω ¯
G (σ)
−1 .
Notons N l’ensemble des éléments n ∈ G
tels que ad n conserve et la paire
(B ∩ G
, T ). Il est inclus dans Z G () et on voit que cette inclusion se quotiente
en un isomorphisme
N/T Ξ .
Cet isomorphisme identifie Ξ
ΓF
au sous-groupe des éléments de N/T fixes par
l’action galoisienne naturelle. D’autre part, N/T est un sous-ensemble de W
G
.
On voit que c’est l’ensemble des w ∈ W
G
tels que
– w(μ
) = μ
(cela traduit la condition que ad n conserve ) ;
– w(Σ + (μ
)) = Σ + (μ
) (cela traduit la condition que ad n conserve la paire
(B ∩ G
, T )).
D’après ce que l’on a dit ci-dessus, l’element w est fixe par l’action galoisienne
naturelle si et seulement si