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Chapitre VII. Descente globale
invariante par ce groupe et l’intégrale sur ce groupe disparaît. D’où
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1
C1(FV )
S
˜
G
1 (SA
˜
G
1 (V, X
1 , ˜
K
V
1 ), φ
cV )λ 1 (c V ) dc V
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1 S
˜
G
1 (SA
˜
G
1 (V, X
1 , ˜
K
V
1 ), f 1 ).
Restreignons f 1 à un voisinage de la classe de conjugaison stable de 1 . On a défini
en [I] 4.8 un homomorphisme de descente d’Harish-Chandra
desc
st
1 : SI( ˜
G
1 (F V )) → SI(G
1,,1 (F V )).
On pose f 1 = desc
st
1 (f 1 ). Pour définir correctement l’homomorphisme de descente,
il faut en réalité remplacer l’espace de départ, resp. d’arrivée, par un espace de
fonctions à support dans un voisinage convenable de 1 , resp. de l’élément neutre.
Il est commode de le noter comme ci-dessus tout en se rappelant l’incorrection de
cette notation. Concrètement, cela signifie que les intégrales orbitales stables de
f 1 n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre dans G
1,,1 (F V ). Cela ne gêne
pas pour appliquer à cette fonction une distribution à support unipotent.
En appliquant la définition de 3.2, on obtient
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1
|Ξ
ΓF
1 |
−1 τ
(G
1 )τ
(G
1,,1 )
−1 S
G
1,, 1 (SA
G
1,, 1
unip (V ), f 1 ).
Introduisons la fonction f ,sc ∈ SI(G ,SC (F V )) image de f 1 par l’homomorphisme
ι G,SC ,G1,, 1 . De la même façon que ci-dessus, les intégrales orbitales stables de
f ,sc n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre dans G ,SC (F V ). Puisque
G
,SC est simplement connexe, on a A G
,SC
= {0} donc τ
(G
,SC ) = τ (G
,SC ). Ce
dernier terme vaut 1 d’après le théorème de Lai ([52] théorème 1.2). En utilisant
la proposition 4.6, on obtient
(1)
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1
|Ξ
ΓF
1 |
−1 τ
(G
1 )S
G
,SC (SA
G
,SC
unip (V ), f ,sc ).
D’après le lemme 4.2(i), on a
(2)
τ (C 1 )
−1 τ (G
1 ) = τ (G
).
Montrons que
(3)
| Fix(X
1 )||Ξ
ΓF
1 | = |Ξ
ΓF
|.
On rappelle que Ξ = Z G ()/G
. Pour x ∈ Z G (), l’élément xx 1 x
−1 est un
élément de la fibre de G
1 au-dessus de , donc de la forme cc 1 pour c ∈ C 1 . Cela
Chapitre VII. Descente globale
invariante par ce groupe et l’intégrale sur ce groupe disparaît. D’où
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1
C1(FV )
S
˜
G
1 (SA
˜
G
1 (V, X
1 , ˜
K
V
1 ), φ
cV )λ 1 (c V ) dc V
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1 S
˜
G
1 (SA
˜
G
1 (V, X
1 , ˜
K
V
1 ), f 1 ).
Restreignons f 1 à un voisinage de la classe de conjugaison stable de 1 . On a défini
en [I] 4.8 un homomorphisme de descente d’Harish-Chandra
desc
st
1 : SI( ˜
G
1 (F V )) → SI(G
1,,1 (F V )).
On pose f 1 = desc
st
1 (f 1 ). Pour définir correctement l’homomorphisme de descente,
il faut en réalité remplacer l’espace de départ, resp. d’arrivée, par un espace de
fonctions à support dans un voisinage convenable de 1 , resp. de l’élément neutre.
Il est commode de le noter comme ci-dessus tout en se rappelant l’incorrection de
cette notation. Concrètement, cela signifie que les intégrales orbitales stables de
f 1 n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre dans G
1,,1 (F V ). Cela ne gêne
pas pour appliquer à cette fonction une distribution à support unipotent.
En appliquant la définition de 3.2, on obtient
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1
|Ξ
ΓF
1 |
−1 τ
(G
1 )τ
(G
1,,1 )
−1 S
G
1,, 1 (SA
G
1,, 1
unip (V ), f 1 ).
Introduisons la fonction f ,sc ∈ SI(G ,SC (F V )) image de f 1 par l’homomorphisme
ι G,SC ,G1,, 1 . De la même façon que ci-dessus, les intégrales orbitales stables de
f ,sc n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre dans G ,SC (F V ). Puisque
G
,SC est simplement connexe, on a A G
,SC
= {0} donc τ
(G
,SC ) = τ (G
,SC ). Ce
dernier terme vaut 1 d’après le théorème de Lai ([52] théorème 1.2). En utilisant
la proposition 4.6, on obtient
(1)
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1
|Ξ
ΓF
1 |
−1 τ
(G
1 )S
G
,SC (SA
G
,SC
unip (V ), f ,sc ).
D’après le lemme 4.2(i), on a
(2)
τ (C 1 )
−1 τ (G
1 ) = τ (G
).
Montrons que
(3)
| Fix(X
1 )||Ξ
ΓF
1 | = |Ξ
ΓF
|.
On rappelle que Ξ = Z G ()/G
. Pour x ∈ Z G (), l’élément xx 1 x
−1 est un
élément de la fibre de G
1 au-dessus de , donc de la forme cc 1 pour c ∈ C 1 . Cela