VII.5. Descente
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qui intervient dans la définition de 5.3, où X
= p ˜
G (μ
, ω ¯
G ). On le récrit immédiatement
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
).
On utilise les définitions et notations des paragraphes précédents associées
à l’élément j = (G
, μ
, ω ¯
G ), tout en supprimant cet indice j pour simplifier
la notation. Le transfert f
G
s’identifie à un élément f 1 ∈ SI
∞
λ1 ( ˜
G
1 (F V )). Alors
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
) est égal à S
˜
G
1
λ1 (SA
˜
G
1
λ1 (V, X
), f 1 ).
La distribution SA
˜
G
1
λ1 (V, X
) est définie par une formule similaire à 1.11(3).
On fixe une fonction φ ∈ C
∞
c ( ˜
G
1 (F V )) telle que
f 1 =
C1(FV )
φ
c λ 1 (c) dc.
On a l’égalité
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
C1(F )\C1(AF )
X
1 ∈Fib(X )
S
˜
G
1 (SA
˜
G
1 (V, X
1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV )λ 1 (c) dc.
Notons X
1 l’élément de Stab( ˜
G
1 (F )) paramétrant la classe de conjugaison stable
de 1 . On peut remplacer la somme sur Fib(X
) par la somme sur les ξX
1 pour
ξ ∈ C 1 (F ), à condition de diviser par le nombre d’éléments du groupe Fix(X
1 ) =
{ξ ∈ C 1 (F ); ξX
1 = X
1 }. Ensuite, par un calcul fait plusieurs fois, la somme en
ξ ∈ C 1 (F ) et l’intégrale en c ∈ C 1 (F )\C 1 (A F ) se recomposent en une intégrale en
c ∈ C 1 (A F ). On obtient
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1
C1(AF )
S
˜
G
1 (SA
˜
G
1 (V, X
1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV )λ 1 (c) dc.
Soit c ∈ C 1 (A F ). Par définition de SA
˜
G
1 (V, X
1 , c
V ˜
K
V
1 ), ce terme est nul sauf si X
1
est elliptique et S(X
1 , c ˜
K
1 ) ⊂ V (remarquons que cette inclusion ne dépend que des
c v ˜
K
1,v pour v ∈ V ). Les conditions analogues X
elliptique et S(X
, ˜
K
) ⊂ V sont
satisfaites d’après l’hypothèse sur (μ
, ω ¯
G ). En revenant à leurs définitions, on voit
que ces deux séries d’hypothèses sont équivalentes, à l’exception de la condition
(nr3) de 1.6 : en une place v ∈ V , cette condition pour X
et ˜
K
v n’implique pas
la même condition pour X
1 et c v ˜
K
1,v . Mais on a choisi les ˜
K
1,v de sorte que, pour
v ∈ V , (nr3) soit vérifiée pour c v = 1. Il résulte alors de [VI] 2.5(13) qu’elle est
satisfaite pour tout v ∈ V si et seulement si c
V
∈ K
V
C1 . La fonction à intégrer est
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qui intervient dans la définition de 5.3, où X
= p ˜
G (μ
, ω ¯
G ). On le récrit immédiatement
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
).
On utilise les définitions et notations des paragraphes précédents associées
à l’élément j = (G
, μ
, ω ¯
G ), tout en supprimant cet indice j pour simplifier
la notation. Le transfert f
G
s’identifie à un élément f 1 ∈ SI
∞
λ1 ( ˜
G
1 (F V )). Alors
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
) est égal à S
˜
G
1
λ1 (SA
˜
G
1
λ1 (V, X
), f 1 ).
La distribution SA
˜
G
1
λ1 (V, X
) est définie par une formule similaire à 1.11(3).
On fixe une fonction φ ∈ C
∞
c ( ˜
G
1 (F V )) telle que
f 1 =
C1(FV )
φ
c λ 1 (c) dc.
On a l’égalité
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
C1(F )\C1(AF )
X
1 ∈Fib(X )
S
˜
G
1 (SA
˜
G
1 (V, X
1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV )λ 1 (c) dc.
Notons X
1 l’élément de Stab( ˜
G
1 (F )) paramétrant la classe de conjugaison stable
de 1 . On peut remplacer la somme sur Fib(X
) par la somme sur les ξX
1 pour
ξ ∈ C 1 (F ), à condition de diviser par le nombre d’éléments du groupe Fix(X
1 ) =
{ξ ∈ C 1 (F ); ξX
1 = X
1 }. Ensuite, par un calcul fait plusieurs fois, la somme en
ξ ∈ C 1 (F ) et l’intégrale en c ∈ C 1 (F )\C 1 (A F ) se recomposent en une intégrale en
c ∈ C 1 (A F ). On obtient
S
G
(SA
G
(V, X
), f
G
)
= τ
(C 1 )
−1
| Fix(X
1 )|
−1
C1(AF )
S
˜
G
1 (SA
˜
G
1 (V, X
1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV )λ 1 (c) dc.
Soit c ∈ C 1 (A F ). Par définition de SA
˜
G
1 (V, X
1 , c
V ˜
K
V
1 ), ce terme est nul sauf si X
1
est elliptique et S(X
1 , c ˜
K
1 ) ⊂ V (remarquons que cette inclusion ne dépend que des
c v ˜
K
1,v pour v ∈ V ). Les conditions analogues X
elliptique et S(X
, ˜
K
) ⊂ V sont
satisfaites d’après l’hypothèse sur (μ
, ω ¯
G ). En revenant à leurs définitions, on voit
que ces deux séries d’hypothèses sont équivalentes, à l’exception de la condition
(nr3) de 1.6 : en une place v ∈ V , cette condition pour X
et ˜
K
v n’implique pas
la même condition pour X
1 et c v ˜
K
1,v . Mais on a choisi les ˜
K
1,v de sorte que, pour
v ∈ V , (nr3) soit vérifiée pour c v = 1. Il résulte alors de [VI] 2.5(13) qu’elle est
satisfaite pour tout v ∈ V si et seulement si c
V
∈ K
V
C1 . La fonction à intégrer est