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Chapitre VII. Descente globale
Puisqu’on a fixé un torseur intérieur entre ¯
G et G η[dv ] , les centres de ces groupes
s’identifient et on peut considérer Z 1 comme un élément de z(G η[dv ] ; F v ). On pose
X[d v ] = Z 1 + X[d v ] sc ∈ g η[dv] (F v ). Soit j ∈ J (H). Puisque ¯
H SC et G
j,,j ,SC sont
en situation d’endoscopie non standard, la classe de conjugaison stable de ¯
Y sc se
transfère en une classe de conjugaison stable dans g
j,,j,SC (F v ). On fixe un élément Y j,sc dans cette classe. Par le diagramme 5.2(5), Z 1 + Z 2 s’identifie à un
élément Z j ∈ z(G
j,,j ; F v ). On pose Y j = Y j,sc + Z j . C’est un élément de g
j,,j (F v ).
Supposons les éléments de départ assez proches de 0 pour que toutes les exponentielles qui suivent soient définies. Les classes de conjugaison stable de exp(Y j ) j
et de exp(X[d v ])η[d v ] se correspondent. Soit Y j,1 ∈ g
j,1,,j,1 (F v ) au-dessus de Y j .
On dispose des deux facteurs de transfert Δ j,1,v (exp(Y j,1 ) j,1 , exp(X[d v ])η[d v ]) et
Δ[d v ](exp( ¯
Y ), exp(X sc [d v ])).
Théorème.
(i) Si v est finie, il existe une constante δ j [d v ] telle que, pour des éléments comme
ci-dessus tels que Y j,1 soit assez proche de 0, on ait l’égalité
Δ j,1,v (exp(Y j,1 ) j,1 , exp(X[d v ])η[d v ]) = δ j [d v ]Δ[d v ](exp( ¯
Y ), exp(X sc [d v ])).
(ii) Si v est archimédienne, il existe une constante δ j [d v ] et un élément b j ∈
X ∗ (Z( ˆ
G
j,1,,j,1 )
0 ) ⊗ C tels que, pour des éléments comme ci-dessus pour lesquels Y j,1 est assez proche de 0, on ait l’égalité
Δ j,1,v (exp(Y j,1 ) j,1 , exp(X[d v ])η[d v ])
= δ j [d v ]Δ[d v ](exp( ¯
Y ), exp(X sc [d v ])) exp(b j , Y j,1 ).
(iii) Si v ∈ V , on a δ j [d v ] = ω(h v )
−1 , où h v est l’élément utilisé pour définir le
sous-groupe hyperspécial de G η[dv],SC (F v ).
Preuve. L’assertion (i) est le théorème 3.9 de [79] : les deux facteurs locaux coïncident à une constante près. L’assertion (ii) a été vue en [V] 4.1. Supposons v ∈ V .
Dans le cas où h v = 1, l’assertion (iii) est la proposition 5.9 de [79]. On se ramène
à ce cas en introduisant le facteur Δ
j,1,v normalisé à l’aide des espaces ad hv ( ˜
K v ) et
˜
K
j,1,v . On conserve le même facteur Δ[d v ]. On a une nouvelle constante δ
j [d v ] dont
on vient de dire qu’elle valait 1 : quand on remplace ˜
K v par ad hv ( ˜
K v ), on remplace en même temps h v par 1. Mais on vérifie aisément que Δ
j,1,v = ω(h v )Δ j,1,v .
L’assertion (iii) en résulte.
VII.5.8 Début du calcul
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )). Notre but est de calculer I
˜
G (A
˜
G,E (V, H, ω), f).
Soit (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H). On se propose de calculer le terme
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )I
˜
G (transfert(SA
G
(V, X
)), f)
Chapitre VII. Descente globale
Puisqu’on a fixé un torseur intérieur entre ¯
G et G η[dv ] , les centres de ces groupes
s’identifient et on peut considérer Z 1 comme un élément de z(G η[dv ] ; F v ). On pose
X[d v ] = Z 1 + X[d v ] sc ∈ g η[dv] (F v ). Soit j ∈ J (H). Puisque ¯
H SC et G
j,,j ,SC sont
en situation d’endoscopie non standard, la classe de conjugaison stable de ¯
Y sc se
transfère en une classe de conjugaison stable dans g
j,,j,SC (F v ). On fixe un élément Y j,sc dans cette classe. Par le diagramme 5.2(5), Z 1 + Z 2 s’identifie à un
élément Z j ∈ z(G
j,,j ; F v ). On pose Y j = Y j,sc + Z j . C’est un élément de g
j,,j (F v ).
Supposons les éléments de départ assez proches de 0 pour que toutes les exponentielles qui suivent soient définies. Les classes de conjugaison stable de exp(Y j ) j
et de exp(X[d v ])η[d v ] se correspondent. Soit Y j,1 ∈ g
j,1,,j,1 (F v ) au-dessus de Y j .
On dispose des deux facteurs de transfert Δ j,1,v (exp(Y j,1 ) j,1 , exp(X[d v ])η[d v ]) et
Δ[d v ](exp( ¯
Y ), exp(X sc [d v ])).
Théorème.
(i) Si v est finie, il existe une constante δ j [d v ] telle que, pour des éléments comme
ci-dessus tels que Y j,1 soit assez proche de 0, on ait l’égalité
Δ j,1,v (exp(Y j,1 ) j,1 , exp(X[d v ])η[d v ]) = δ j [d v ]Δ[d v ](exp( ¯
Y ), exp(X sc [d v ])).
(ii) Si v est archimédienne, il existe une constante δ j [d v ] et un élément b j ∈
X ∗ (Z( ˆ
G
j,1,,j,1 )
0 ) ⊗ C tels que, pour des éléments comme ci-dessus pour lesquels Y j,1 est assez proche de 0, on ait l’égalité
Δ j,1,v (exp(Y j,1 ) j,1 , exp(X[d v ])η[d v ])
= δ j [d v ]Δ[d v ](exp( ¯
Y ), exp(X sc [d v ])) exp(b j , Y j,1 ).
(iii) Si v ∈ V , on a δ j [d v ] = ω(h v )
−1 , où h v est l’élément utilisé pour définir le
sous-groupe hyperspécial de G η[dv],SC (F v ).
Preuve. L’assertion (i) est le théorème 3.9 de [79] : les deux facteurs locaux coïncident à une constante près. L’assertion (ii) a été vue en [V] 4.1. Supposons v ∈ V .
Dans le cas où h v = 1, l’assertion (iii) est la proposition 5.9 de [79]. On se ramène
à ce cas en introduisant le facteur Δ
j,1,v normalisé à l’aide des espaces ad hv ( ˜
K v ) et
˜
K
j,1,v . On conserve le même facteur Δ[d v ]. On a une nouvelle constante δ
j [d v ] dont
on vient de dire qu’elle valait 1 : quand on remplace ˜
K v par ad hv ( ˜
K v ), on remplace en même temps h v par 1. Mais on vérifie aisément que Δ
j,1,v = ω(h v )Δ j,1,v .
L’assertion (iii) en résulte.
VII.5.8 Début du calcul
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )). Notre but est de calculer I
˜
G (A
˜
G,E (V, H, ω), f).
Soit (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H). On se propose de calculer le terme
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G )I
˜
G (transfert(SA
G
(V, X
)), f)