VII.5. Descente
825
Fixons une paire (B [d v ], S [d v ]) vérifiant (3). Comme en 5.4(5), on en déduit
une paire de Borel de G, notée ici (B[d v ], S[d v ]), qui est conservée par ad ηv . La
preuve de 5.4(5) montre que
(5) pour tout j ∈ J (H), tout v ∈ Val(F ) et tout d v ∈ D
rel
v tel que d v ∈ D
nr
v si v ∈
V , le sextuplet ( j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], η[d v ]) est un diagramme sur F v .
VII.5.7 Facteurs de transfert
Soit j ∈ J (H). On fixe des données auxiliaires G
j,1 , ˜
G
j,1 , C j,1 , ˆ
ξ j,1 pour G
j ,
non ramifiées hors de V . On fixe un élément j,1 ∈ ˜
G
j,1 (F ) au-dessus de j .
Pour v ∈ Val(F ) − V , l’hypothèse que S(p ˜
G
j
(μ
j , ω ¯
G
j
), ˜
K
j ) ⊂ V et le lemme
1.6 assurent qu’il existe j,v ∈ ˜
K
j,v qui soit stablement conjugué à j . Fixons
u v ∈ G
j ( ¯
F v ) tel que u
−1
v j u v = j,v et u v σ(u v )
−1
∈ G
j,,j pour tout σ ∈ Γ Fv .
Posons j,1,v = u
−1
v j,1 u v . C’est un élément au-dessus de j,v et on vérifie qu’il
appartient à ˜
G
j,1 (F v ). On pose ˜
K
j,1,v = K
j,1,v j,1,v . On peut choisir x v = 1 pour
presque tout v. La famille ( ˜
K
j,1,v ) v ∈V vérifie alors la condition de compatibilité
globale habituelle, c’est-à-dire que, pour δ 1 ∈ ˜
G
j,1 (F ), on a δ ∈ ˜
K
j,1,v pour presque
tout v. De ces choix d’espaces hyperspéciaux se déduit un facteur de transfert
Δ j,1,v sur ˜
G
j,1 (F v ) × ˜
G(F v ) pour toute place v ∈ V . La relation 5.6(5) et le fait
que la paire (B j , S j ) est définie sur ¯
F montrent que, non seulement la donnée
G
j est relevante, mais qu’elle vérifie l’hypothèse Hyp de [VI] 3.6 qui permet de
définir un facteur de transfert global. De ce facteur global et des facteurs Δ j,1,v
pour v ∈ V se déduit comme dans cette référence un facteur de transfert Δ j,1,V
sur ˜
G
j,1 (F V ) × ˜
G(F V ).
Puisque ¯
G SC est quasi-déployé, la donnée H est relevante pour ce groupe.
Puisqu’il est aussi simplement connexe, on sait que l’on peut identifier ¯
H au Lgroupe de ¯
H. Autrement dit, on peut fixer des données auxiliaires ¯
H 1 , ¯
C 1 et ˆ ¯
ξ 1
telles que ¯
H 1 = ¯
H et ¯
C 1 = {1}. On fixe de telles données. Pour toute place v et
tout d v ∈ D
rel
v , ces données auxiliaires valent pour le groupe G η[dv],SC . Supposons
v ∈ V et d v ∈ D
nr
v . Dans ce cas, H v est une donnée non ramifiée pour G η[dv ],SC .
On dispose d’un facteur de transfert canonique pourvu que l’on fixe un sous-groupe
hyperspécial de G η[dv ],SC (F v ) (dans la situation non tordue, la donnée de ce sousgroupe suffit). Pour cela, on fixe un élément h v ∈ G(F v ) tel que h
−1
v η[d v ]h v ∈ ˜
K v .
On choisit le sous-groupe image réciproque dans G η[dv ],SC (F v ) de ad hv (K v ) ∩
G η[dv ] (F v ). Si v ∈ V , il n’y a pas de choix canonique de facteur de transfert, on
en fixe un que l’on note Δ[d v ]. Par le choix de nos données auxiliaires, le facteur
Δ[d v ] est quel que soit v une fonction sur ¯
H(F v ) × G η[dv ],SC (F v ).
Soient v ∈ Val(F ) et d v ∈ D
rel
v . Soient ¯
Y sc ∈ ¯
h SC (F v ), Z 2 ∈ z( ¯
H; F v ) et
Z 1 ∈ z( ¯
G; F v ). On suppose ces éléments en position générale. Posons ¯
Y = ¯
Y sc +Z 2 .
On suppose que la classe de conjugaison stable de ¯
Y se transfère en une classe de
conjugaison stable dans g η[dv],SC (F v ). On fixe un élément X[d v ] sc dans cette classe.
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Fixons une paire (B [d v ], S [d v ]) vérifiant (3). Comme en 5.4(5), on en déduit
une paire de Borel de G, notée ici (B[d v ], S[d v ]), qui est conservée par ad ηv . La
preuve de 5.4(5) montre que
(5) pour tout j ∈ J (H), tout v ∈ Val(F ) et tout d v ∈ D
rel
v tel que d v ∈ D
nr
v si v ∈
V , le sextuplet ( j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], η[d v ]) est un diagramme sur F v .
VII.5.7 Facteurs de transfert
Soit j ∈ J (H). On fixe des données auxiliaires G
j,1 , ˜
G
j,1 , C j,1 , ˆ
ξ j,1 pour G
j ,
non ramifiées hors de V . On fixe un élément j,1 ∈ ˜
G
j,1 (F ) au-dessus de j .
Pour v ∈ Val(F ) − V , l’hypothèse que S(p ˜
G
j
(μ
j , ω ¯
G
j
), ˜
K
j ) ⊂ V et le lemme
1.6 assurent qu’il existe j,v ∈ ˜
K
j,v qui soit stablement conjugué à j . Fixons
u v ∈ G
j ( ¯
F v ) tel que u
−1
v j u v = j,v et u v σ(u v )
−1
∈ G
j,,j pour tout σ ∈ Γ Fv .
Posons j,1,v = u
−1
v j,1 u v . C’est un élément au-dessus de j,v et on vérifie qu’il
appartient à ˜
G
j,1 (F v ). On pose ˜
K
j,1,v = K
j,1,v j,1,v . On peut choisir x v = 1 pour
presque tout v. La famille ( ˜
K
j,1,v ) v ∈V vérifie alors la condition de compatibilité
globale habituelle, c’est-à-dire que, pour δ 1 ∈ ˜
G
j,1 (F ), on a δ ∈ ˜
K
j,1,v pour presque
tout v. De ces choix d’espaces hyperspéciaux se déduit un facteur de transfert
Δ j,1,v sur ˜
G
j,1 (F v ) × ˜
G(F v ) pour toute place v ∈ V . La relation 5.6(5) et le fait
que la paire (B j , S j ) est définie sur ¯
F montrent que, non seulement la donnée
G
j est relevante, mais qu’elle vérifie l’hypothèse Hyp de [VI] 3.6 qui permet de
définir un facteur de transfert global. De ce facteur global et des facteurs Δ j,1,v
pour v ∈ V se déduit comme dans cette référence un facteur de transfert Δ j,1,V
sur ˜
G
j,1 (F V ) × ˜
G(F V ).
Puisque ¯
G SC est quasi-déployé, la donnée H est relevante pour ce groupe.
Puisqu’il est aussi simplement connexe, on sait que l’on peut identifier ¯
H au Lgroupe de ¯
H. Autrement dit, on peut fixer des données auxiliaires ¯
H 1 , ¯
C 1 et ˆ ¯
ξ 1
telles que ¯
H 1 = ¯
H et ¯
C 1 = {1}. On fixe de telles données. Pour toute place v et
tout d v ∈ D
rel
v , ces données auxiliaires valent pour le groupe G η[dv],SC . Supposons
v ∈ V et d v ∈ D
nr
v . Dans ce cas, H v est une donnée non ramifiée pour G η[dv ],SC .
On dispose d’un facteur de transfert canonique pourvu que l’on fixe un sous-groupe
hyperspécial de G η[dv ],SC (F v ) (dans la situation non tordue, la donnée de ce sousgroupe suffit). Pour cela, on fixe un élément h v ∈ G(F v ) tel que h
−1
v η[d v ]h v ∈ ˜
K v .
On choisit le sous-groupe image réciproque dans G η[dv ],SC (F v ) de ad hv (K v ) ∩
G η[dv ] (F v ). Si v ∈ V , il n’y a pas de choix canonique de facteur de transfert, on
en fixe un que l’on note Δ[d v ]. Par le choix de nos données auxiliaires, le facteur
Δ[d v ] est quel que soit v une fonction sur ¯
H(F v ) × G η[dv ],SC (F v ).
Soient v ∈ Val(F ) et d v ∈ D
rel
v . Soient ¯
Y sc ∈ ¯
h SC (F v ), Z 2 ∈ z( ¯
H; F v ) et
Z 1 ∈ z( ¯
G; F v ). On suppose ces éléments en position générale. Posons ¯
Y = ¯
Y sc +Z 2 .
On suppose que la classe de conjugaison stable de ¯
Y se transfère en une classe de
conjugaison stable dans g η[dv],SC (F v ). On fixe un élément X[d v ] sc dans cette classe.