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Chapitre VII. Descente globale
On fixe un tel tore, que l’on complète en une paire de Borel (B ¯
H , S ¯
H ) définie
sur ¯
F . Soit j ∈ J (H). Puisque ¯
H SC et G
j,,j ,SC sont en situation d’endoscopie
non standard, on peut fixer une paire de Borel (B ,j , S j ) de G
j,,j qui correspond
à (B ¯
H , S ¯
H ). Puisque (B ,j , S j ) et (B
∗
,j , T j ) sont deux paires de Borel de G
j,,j
définies sur ¯
F , on peut fixer u ∈ G
j,,j ( ¯
F ) tel que (B ,j , S j ) = ad u (B
∗
,j , T j ). On
pose (B j , S j ) = ad u (B j , T j ). C’est une paire de Borel de G
j définie sur ¯
F (avec
S j défini sur F ) conservée par ad j . On a B j ∩ G
j,,j = B ,j .
Soit v ∈ Val(F ) et d v ∈ D
rel
v . Si v ∈ V , supposons de plus d v ∈ D
nr
v .
Montrons que
(3) il existe une paire de Borel (B [d v ], S [d v ]) de G η[dv] qui correspond à
(B ¯
H , S ¯
H ).
Preuve. Le corps de base est ici F v . Si v ∈ V , l’hypothèse implique que G η[dv ] est
quasi-déployé. L’assertion résulte alors de [44] corollaire 2.2. Supposons v ∈ V . Il
suffit de prouver l’existence d’une paire de Borel (B [d v ], S [d v ]) de G η[dv ],SC
qui correspond à (B ¯
H , S ¯
H ). Mais H v est relevante pour G η[dv ],SC . L’assertion
résulte alors de la propriété générale suivante :
(4) soient L un groupe réductif connexe défini sur F v , L
une donnée endoscopique relevante de L (il s’agit d’endoscopie non tordue), (B
L
, S
L
) une paire
de Borel de L
telle que S
L
soit défini sur F v et soit elliptique, resp. fondamental, dans L
si v est non-archimédienne, resp. archimédienne. Alors il
existe une paire de Borel (B
L , S
L ) de L qui correspond à (B
L
, S
L
).
Preuve. Puisque L
est relevante, on peut fixer des paires de Borel (B
L
1 , S
L
1 ) de
L
et (B
L
1 , S
L
1 ) de L qui se correspondent. Posons A
= A S L et notons M
le
commutant de A
dans L
. Si v est non-archimédienne, S
L
est elliptique dans L
donc M
= L
, a fortiori S
L
1 ⊂ M
. Si v est archimédienne, S
L
est fondamental.
Quitte à conjuguer (B
L
1 , S
L
1 ), on peut donc supposer S
L
1 ⊂ M
. Alors, quelle que
soit v, A
⊂ S
L
1 . Par l’isomorphisme S
L
1 S
L
1 déterminé par nos deux paires, A
s’identifie à un sous-tore déployé A de S
L
1 , dont on note M le commutant dans L.
Alors M
se complète en une donnée endoscopique M
de M qui est elliptique. Le
tore S
L
est un sous-tore elliptique de L
. D’après [44] corollaire 2.2, il se transfère
en un sous-tore d’une forme quasi-déployée de M . Ce sous-tore est encore elliptique
et, d’après [46] lemme 10.2, il se transfère en un sous-tore S
L de M . On peut
compléter S
L
et S
L en des paires de Borel (B
M
, S
L
) de M
et (B
M , S
L ) de M
qui se correspondent. Fixons x
∈ M
tel que (B
M
, S
L
) = ad x (B
L
1 ∩ M
, S
L
1 )
et posons B
L
2 = ad x (B
L
1 ). Fxons x ∈ M tel que (B
M , S
L ) = ad x (B
L
1 ∩ M, S
L
1 )
et posons B
L
2 = ad x (B
L
1 ). L’isomorphisme S
L
S
L déduit des paires (B
L
2 , S
L
)
de L
et (B
L
2 , S
L ) de L est le même que celui déduit des paires (B
M
, S
L
) de
M
et (B
M , S
L ) de M . Il est donc défini sur F v , ce qui revient à dire que les
paires (B
L
2 , S
L
) de L
et (B
L
2 , S
L ) de L se correspondent. D’après [I] 1.10, on
peut remplacer B
L
2 par B
L
, quitte à remplacer B
L
2 par un autre sous-groupe de
Borel B
L . Cela prouve (4).
Chapitre VII. Descente globale
On fixe un tel tore, que l’on complète en une paire de Borel (B ¯
H , S ¯
H ) définie
sur ¯
F . Soit j ∈ J (H). Puisque ¯
H SC et G
j,,j ,SC sont en situation d’endoscopie
non standard, on peut fixer une paire de Borel (B ,j , S j ) de G
j,,j qui correspond
à (B ¯
H , S ¯
H ). Puisque (B ,j , S j ) et (B
∗
,j , T j ) sont deux paires de Borel de G
j,,j
définies sur ¯
F , on peut fixer u ∈ G
j,,j ( ¯
F ) tel que (B ,j , S j ) = ad u (B
∗
,j , T j ). On
pose (B j , S j ) = ad u (B j , T j ). C’est une paire de Borel de G
j définie sur ¯
F (avec
S j défini sur F ) conservée par ad j . On a B j ∩ G
j,,j = B ,j .
Soit v ∈ Val(F ) et d v ∈ D
rel
v . Si v ∈ V , supposons de plus d v ∈ D
nr
v .
Montrons que
(3) il existe une paire de Borel (B [d v ], S [d v ]) de G η[dv] qui correspond à
(B ¯
H , S ¯
H ).
Preuve. Le corps de base est ici F v . Si v ∈ V , l’hypothèse implique que G η[dv ] est
quasi-déployé. L’assertion résulte alors de [44] corollaire 2.2. Supposons v ∈ V . Il
suffit de prouver l’existence d’une paire de Borel (B [d v ], S [d v ]) de G η[dv ],SC
qui correspond à (B ¯
H , S ¯
H ). Mais H v est relevante pour G η[dv ],SC . L’assertion
résulte alors de la propriété générale suivante :
(4) soient L un groupe réductif connexe défini sur F v , L
une donnée endoscopique relevante de L (il s’agit d’endoscopie non tordue), (B
L
, S
L
) une paire
de Borel de L
telle que S
L
soit défini sur F v et soit elliptique, resp. fondamental, dans L
si v est non-archimédienne, resp. archimédienne. Alors il
existe une paire de Borel (B
L , S
L ) de L qui correspond à (B
L
, S
L
).
Preuve. Puisque L
est relevante, on peut fixer des paires de Borel (B
L
1 , S
L
1 ) de
L
et (B
L
1 , S
L
1 ) de L qui se correspondent. Posons A
= A S L et notons M
le
commutant de A
dans L
. Si v est non-archimédienne, S
L
est elliptique dans L
donc M
= L
, a fortiori S
L
1 ⊂ M
. Si v est archimédienne, S
L
est fondamental.
Quitte à conjuguer (B
L
1 , S
L
1 ), on peut donc supposer S
L
1 ⊂ M
. Alors, quelle que
soit v, A
⊂ S
L
1 . Par l’isomorphisme S
L
1 S
L
1 déterminé par nos deux paires, A
s’identifie à un sous-tore déployé A de S
L
1 , dont on note M le commutant dans L.
Alors M
se complète en une donnée endoscopique M
de M qui est elliptique. Le
tore S
L
est un sous-tore elliptique de L
. D’après [44] corollaire 2.2, il se transfère
en un sous-tore d’une forme quasi-déployée de M . Ce sous-tore est encore elliptique
et, d’après [46] lemme 10.2, il se transfère en un sous-tore S
L de M . On peut
compléter S
L
et S
L en des paires de Borel (B
M
, S
L
) de M
et (B
M , S
L ) de M
qui se correspondent. Fixons x
∈ M
tel que (B
M
, S
L
) = ad x (B
L
1 ∩ M
, S
L
1 )
et posons B
L
2 = ad x (B
L
1 ). Fxons x ∈ M tel que (B
M , S
L ) = ad x (B
L
1 ∩ M, S
L
1 )
et posons B
L
2 = ad x (B
L
1 ). L’isomorphisme S
L
S
L déduit des paires (B
L
2 , S
L
)
de L
et (B
L
2 , S
L ) de L est le même que celui déduit des paires (B
M
, S
L
) de
M
et (B
M , S
L ) de M . Il est donc défini sur F v , ce qui revient à dire que les
paires (B
L
2 , S
L
) de L
et (B
L
2 , S
L ) de L se correspondent. D’après [I] 1.10, on
peut remplacer B
L
2 par B
L
, quitte à remplacer B
L
2 par un autre sous-groupe de
Borel B
L . Cela prouve (4).