VII.5. Descente
823
Fixons un tel triplet (G
, μ
, ω ¯
G ), auquel est associé un élément ∈ ˜
G
(F ).
La distribution SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G )) est supportée par les éléments de ˜
G
(F V )
dont la partie semi-simple est stablement conjuguée à (plus exactement, ces distributions vivent sur des données auxiliaires, mais peu importe ici). Son transfert
est nul s’il existe v ∈ V tel que la classe de conjugaison stable de dans ˜
G
(F v ) ne
correspond à aucune classe de conjugaison stable dans ˜
G(F v ). D’après le lemme
5.4, il est donc nul s’il existe v ∈ V tel que D
rel
v = ∅.
Dorénavant, on suppose D
rel
v = ∅ pour tout v ∈ V . Il résulte de 5.5(3) et
(4) qu’alors D
rel
v = ∅ pour tout v ∈ Val(F ). En conséquence
(1) on a l’égalité J • (H) = J (H).
Preuve. Soit (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J • (H). Le lemme 1.3 entraîne que ˜
G
(F ) est non-vide.
Fixons un élément comme dans ce lemme. Pour v ∈ Val(F ), soit (η v , r v ) ∈ D
rel
v .
On a construit en 5.4(5) un diagramme (, B
, T
, B, T, η v ). Donc la donnée locale
G
v est relevante. Par définition, G
est donc relevante et (G
, μ
, ω ¯
G ) appartient
à J • (H).
Dorénavant, pour v ∈ Val(F ), on notera d v un élément de D v . Quand on
aura besoin de l’écrire comme un couple (η v , r v ), on écrira ce couple (η[d v ], r[d v ]).
On supprimera le torseur ψ rv de la notation : le groupe G η[dv ] sera toujours considéré comme une forme intérieure de ¯
G via ce torseur. On utilisera des notations
analogues dans différentes variantes de notre situation. Par exemple, on pose
D V =
v∈V D v et D
rel
V =
v∈V D
rel
v . On note (η[d V ], r[d V ]) le couple associé
à un élément d V ∈ D V etc. . .
On notera j un élément de J (H). Quand on a besoin de l’écrire comme un
triplet (G
, μ
, ω ¯
G ), on note ce triplet (G
j , μ
j , ω ¯
G
j
) et on affecte tous les objets
relatifs à ce triplet d’un indice j. Par exemple, on fixe un élément j ∈ ˜
G
j (F )
vérifiant les conditions du lemme 1.3(ii).
On a
(2) il existe un sous-tore maximal S ¯
H de ¯
H, défini sur F , tel que, pour toute place
v ∈ V , le localisé S ¯
H,v soit elliptique dans ¯
H v si v est non-archimédienne et
S ¯
H,v soit fondamental dans ¯
H v si v est archimédienne.
Preuve. Pour toute place v ∈ V , on peut en tout cas fixer un sous-tore maximal S v
de ¯
H v défini sur F v qui possède cette propriété. On fixe un élément X v ∈ s v (F v ) ∩
¯
h reg (F v ). L’espace ¯
h(F ) est dense dans ¯
h(F V ). On peut donc fixer X ∈ ¯
h(F ) tel
que, pour toute place v ∈ V , X soit arbitrairement proche de X v . Si X est assez
proche de X v , sa classe de conjugaison par ¯
H(F v ) coupe s v (F v ) ∩ ¯
h reg (F v ). A
fortiori, X est semi-simple et régulier. On note S ¯
H son commutant dans ¯
H. C’est
un sous-tore maximal défini sur F . Pour tout v ∈ V , le localisé S ¯
H,v est conjugué
à S v donc possède la propriété requise.
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Fixons un tel triplet (G
, μ
, ω ¯
G ), auquel est associé un élément ∈ ˜
G
(F ).
La distribution SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G )) est supportée par les éléments de ˜
G
(F V )
dont la partie semi-simple est stablement conjuguée à (plus exactement, ces distributions vivent sur des données auxiliaires, mais peu importe ici). Son transfert
est nul s’il existe v ∈ V tel que la classe de conjugaison stable de dans ˜
G
(F v ) ne
correspond à aucune classe de conjugaison stable dans ˜
G(F v ). D’après le lemme
5.4, il est donc nul s’il existe v ∈ V tel que D
rel
v = ∅.
Dorénavant, on suppose D
rel
v = ∅ pour tout v ∈ V . Il résulte de 5.5(3) et
(4) qu’alors D
rel
v = ∅ pour tout v ∈ Val(F ). En conséquence
(1) on a l’égalité J • (H) = J (H).
Preuve. Soit (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J • (H). Le lemme 1.3 entraîne que ˜
G
(F ) est non-vide.
Fixons un élément comme dans ce lemme. Pour v ∈ Val(F ), soit (η v , r v ) ∈ D
rel
v .
On a construit en 5.4(5) un diagramme (, B
, T
, B, T, η v ). Donc la donnée locale
G
v est relevante. Par définition, G
est donc relevante et (G
, μ
, ω ¯
G ) appartient
à J • (H).
Dorénavant, pour v ∈ Val(F ), on notera d v un élément de D v . Quand on
aura besoin de l’écrire comme un couple (η v , r v ), on écrira ce couple (η[d v ], r[d v ]).
On supprimera le torseur ψ rv de la notation : le groupe G η[dv ] sera toujours considéré comme une forme intérieure de ¯
G via ce torseur. On utilisera des notations
analogues dans différentes variantes de notre situation. Par exemple, on pose
D V =
v∈V D v et D
rel
V =
v∈V D
rel
v . On note (η[d V ], r[d V ]) le couple associé
à un élément d V ∈ D V etc. . .
On notera j un élément de J (H). Quand on a besoin de l’écrire comme un
triplet (G
, μ
, ω ¯
G ), on note ce triplet (G
j , μ
j , ω ¯
G
j
) et on affecte tous les objets
relatifs à ce triplet d’un indice j. Par exemple, on fixe un élément j ∈ ˜
G
j (F )
vérifiant les conditions du lemme 1.3(ii).
On a
(2) il existe un sous-tore maximal S ¯
H de ¯
H, défini sur F , tel que, pour toute place
v ∈ V , le localisé S ¯
H,v soit elliptique dans ¯
H v si v est non-archimédienne et
S ¯
H,v soit fondamental dans ¯
H v si v est archimédienne.
Preuve. Pour toute place v ∈ V , on peut en tout cas fixer un sous-tore maximal S v
de ¯
H v défini sur F v qui possède cette propriété. On fixe un élément X v ∈ s v (F v ) ∩
¯
h reg (F v ). L’espace ¯
h(F ) est dense dans ¯
h(F V ). On peut donc fixer X ∈ ¯
h(F ) tel
que, pour toute place v ∈ V , X soit arbitrairement proche de X v . Si X est assez
proche de X v , sa classe de conjugaison par ¯
H(F v ) coupe s v (F v ) ∩ ¯
h reg (F v ). A
fortiori, X est semi-simple et régulier. On note S ¯
H son commutant dans ¯
H. C’est
un sous-tore maximal défini sur F . Pour tout v ∈ V , le localisé S ¯
H,v est conjugué
à S v donc possède la propriété requise.