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Chapitre VII. Descente globale
Fixons un élément (η v , r v ) ∈ D
nr,0
v
. C’est loisible puisque D
nr
v n’est pas vide.
Remarquons que faire agir à gauche un élément de G η sur (η v , r v ) revient à faire
agir à droite un élément de G ηv . L’assertion à prouver revient à dire que tout
élément de D
nr,0
v
s’écrit (y
−1 η v y, r v y) pour un y ∈ G ηv K ,v . Soit (η
v , r
v ) ∈ D
nr,0
v
.
D’après 5.4(4), il existe y ∈ Y ηv tel que (η
v , r
v ) = (y
−1 η v y, r v y). D’après le lemme
[79] 5.6(i), la relation y
−1 η v y ∈ ˜
K v entraîne que y ∈ G ηv K
nr
v . Ecrivons y = xk,
avec x ∈ G ηv et k ∈ K
nr
v . On a encore k ∈ Y ηv . Notons Z(G) p le sous-groupe
des éléments de Z(G; ¯
F v ) d’ordre premier à p. C’est un sous-groupe de K
nr
v ([79]
5.5(1)). Le lemme 5.5 de [79] implique que l’application
Z(G)
θ
p → G ηv ∩ K
nr
v \I ηv ∩ K
nr
v
est surjective.
Fixons un Frobenius φ ∈ Γ Fv . Puisque k ∈ Y ηv , on a kφ(k)
−1
∈ I ηv . Puisque
k ∈ K
nr
v , on a aussi kφ(k)
−1
∈ K
nr
v . D’après l’assertion ci-dessus, on peut écrire
kφ(k)
−1 = g(φ)z(φ), avec g(φ) ∈ G ηv ∩ K
nr
v et z(φ) ∈ Z(G)
θ
p . Par les relations de
cocycle habituelles, on prolonge g(φ) et z(φ) en des applications définies sur φ
Z .
Par exemple, pour n ∈ N, on pose
g(φ
n ) = g(φ)φ(g(φ)) · · · φ
n−1 (g(φ)).
Parce que z(φ) est d’ordre fini, on voit qu’il existe N ≥ 1 tel que n → z(φ
n )
se factorise par Z/N Z. Puisque k ∈ K
nr
v , il en est de même de l’application
n → kφ
n (k)
−1 . Puisque g(φ
n ) = kφ
n (k)
−1 z(φ
n )
−1 , il en est aussi de même de
n → g(φ
n ). Alors cette application définit un cocycle continu et non ramifié de Γ Fv
dans G ηv ∩ K
nr
v . Un tel cocycle est un cobord. On peut donc fixer x 1 ∈ G ηv ∩ K
nr
v
de sorte que g(φ) = x
−1
1 φ(x 1 ). Posons k 1 = x 1 k. Alors k 1 φ(k 1 )
−1 = z(φ) ∈ Z(G)
θ .
Donc k 1 ∈ G (F v ). Puisque de plus k 1 ∈ K
nr
v , cela implique k 1 ∈ K ,v . Alors
y = xx
−1
1 k 1 appartient à G ηv K ,v . Cela achève la preuve.
On a
(4) soit (η v , r v ) ∈ D
nr
v ; alors H v est relevante pour (G ηv ,SC , ψ rv ).
Il s’agit d’endoscopie non tordue. Puisque G ηv ,SC est quasi-déployé, tout se
transfère.
VII.5.6 Une conséquence
Corollaire. Supposons qu’il existe v ∈ V tel que D
rel
v = ∅. Alors A
˜
G,E (V, H, ω) = 0.
Preuve. Par définition, A
˜
G,E (V, H, ω) est une somme sur les éléments
(G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H)
des transferts des distributions SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G )).
Chapitre VII. Descente globale
Fixons un élément (η v , r v ) ∈ D
nr,0
v
. C’est loisible puisque D
nr
v n’est pas vide.
Remarquons que faire agir à gauche un élément de G η sur (η v , r v ) revient à faire
agir à droite un élément de G ηv . L’assertion à prouver revient à dire que tout
élément de D
nr,0
v
s’écrit (y
−1 η v y, r v y) pour un y ∈ G ηv K ,v . Soit (η
v , r
v ) ∈ D
nr,0
v
.
D’après 5.4(4), il existe y ∈ Y ηv tel que (η
v , r
v ) = (y
−1 η v y, r v y). D’après le lemme
[79] 5.6(i), la relation y
−1 η v y ∈ ˜
K v entraîne que y ∈ G ηv K
nr
v . Ecrivons y = xk,
avec x ∈ G ηv et k ∈ K
nr
v . On a encore k ∈ Y ηv . Notons Z(G) p le sous-groupe
des éléments de Z(G; ¯
F v ) d’ordre premier à p. C’est un sous-groupe de K
nr
v ([79]
5.5(1)). Le lemme 5.5 de [79] implique que l’application
Z(G)
θ
p → G ηv ∩ K
nr
v \I ηv ∩ K
nr
v
est surjective.
Fixons un Frobenius φ ∈ Γ Fv . Puisque k ∈ Y ηv , on a kφ(k)
−1
∈ I ηv . Puisque
k ∈ K
nr
v , on a aussi kφ(k)
−1
∈ K
nr
v . D’après l’assertion ci-dessus, on peut écrire
kφ(k)
−1 = g(φ)z(φ), avec g(φ) ∈ G ηv ∩ K
nr
v et z(φ) ∈ Z(G)
θ
p . Par les relations de
cocycle habituelles, on prolonge g(φ) et z(φ) en des applications définies sur φ
Z .
Par exemple, pour n ∈ N, on pose
g(φ
n ) = g(φ)φ(g(φ)) · · · φ
n−1 (g(φ)).
Parce que z(φ) est d’ordre fini, on voit qu’il existe N ≥ 1 tel que n → z(φ
n )
se factorise par Z/N Z. Puisque k ∈ K
nr
v , il en est de même de l’application
n → kφ
n (k)
−1 . Puisque g(φ
n ) = kφ
n (k)
−1 z(φ
n )
−1 , il en est aussi de même de
n → g(φ
n ). Alors cette application définit un cocycle continu et non ramifié de Γ Fv
dans G ηv ∩ K
nr
v . Un tel cocycle est un cobord. On peut donc fixer x 1 ∈ G ηv ∩ K
nr
v
de sorte que g(φ) = x
−1
1 φ(x 1 ). Posons k 1 = x 1 k. Alors k 1 φ(k 1 )
−1 = z(φ) ∈ Z(G)
θ .
Donc k 1 ∈ G (F v ). Puisque de plus k 1 ∈ K
nr
v , cela implique k 1 ∈ K ,v . Alors
y = xx
−1
1 k 1 appartient à G ηv K ,v . Cela achève la preuve.
On a
(4) soit (η v , r v ) ∈ D
nr
v ; alors H v est relevante pour (G ηv ,SC , ψ rv ).
Il s’agit d’endoscopie non tordue. Puisque G ηv ,SC est quasi-déployé, tout se
transfère.
VII.5.6 Une conséquence
Corollaire. Supposons qu’il existe v ∈ V tel que D
rel
v = ∅. Alors A
˜
G,E (V, H, ω) = 0.
Preuve. Par définition, A
˜
G,E (V, H, ω) est une somme sur les éléments
(G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H)
des transferts des distributions SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G )).