VII.5. Descente
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agit à droite sur D v par ((η v , r v ), g) → (g
−1 η v g, r v g). Cette action étend celle
de G(F v ).
Supposons maintenant v ∈ V . Le groupe K v détermine un sous-groupe hyperspécial K ,v de G (F v ). On note K ,v le sous-groupe des éléments de G (F v )
dont l’image dans G (F v ) appartient à K ,v . Utilisons les notations de 1.5. On a
(1) K ,v est inclus dans Z(G)
θ K
nr
v ; pour g ∈ K ,v , l’automorphisme ad g de ˜
G
conserve ˜
K v .
Preuve. La surjectivité de l’application G → G se prolonge en la surjectivité de
l’application analogue entre les schémas en groupes associés à K v et K ,v . On voit
ainsi qu’il y a une suite exacte
1 → Z(G)
θ
∩ K
nr
v → K
nr
v → K
nr
,v → 1.
Tout élément de K ,v se relève donc en un élément de K
nr
v . La première assertion
en résulte. La seconde a été vue à la fin de la preuve de la proposition 2.1.
On note D
nr
v l’ensemble des (η v , r v ) ∈ D v tels qu’il existe h ∈ G(F v ) de sorte
que η v ∈ ad
−1
h ( ˜
K v ). Puisque v ∈ V , on a v ∈ S(X , ˜
K) d’après l’hypothèse 5.1(1).
Le lemme 1.6 implique alors que
(2) D
nr
v est non vide ; pour (η v , r v ) ∈ D
nr
v et h ∈ G(F v ) tel que η v ∈ ad
−1
h ( ˜
K v ), le
groupe G ηv est non ramifié et G ηv (F v ) ∩ ad
−1
h (K v ) est un sous-groupe hyperspécial de G ηv (F v ). Plus précisément, en notant K ηv le schéma en groupes associé à ce sous-groupe hyperspécial, on a K ηv (o E ) = G ηv (E)∩ad h −1 (K v (o E ))
pour toute extension non ramifiée E de F v .
Il est clair que D
nr
v est invariant à gauche par I η et à droite par G(F v ).
Remarquons que, puisque ad g est défini sur F v pour tout g ∈ G (F v ), les ensembles
G(F v )K ,v et K ,v G(F v ) sont égaux et ce sont des groupes.
Lemme. L’ensemble D
nr
v est stable par l’action à droite de K v,, . Il forme une
unique double classe modulo l’action à gauche de I η et à droite de K ,v G(F v ).
Preuve. Soient (η v , r v ) ∈ D
nr
v et k ∈ K ,v . Posons η
v = k
−1 η v k, r
v = r v k. Soit
h ∈ G(F v ) tel que η v ∈ ad
−1
h ( ˜
K v ). Posons h
= k
−1 hk. C’est un élément de G(F v ).
On a
η
v ∈ ad k −1 h −1 ( ˜
K v ) = ad h −1 k −1 ( ˜
K v ) = ad h −1 ( ˜
K v ),
la dernière égalité résultant de (1). Donc (η
v , r
v ) ∈ D
nr
v , ce qui prouve la première
assertion. Notons D
nr,0
v
le sous-ensemble des (η v , r v ) ∈ D v tels que η v ∈ ˜
K v . Par
définition, D
nr
v est engendré par D
nr,0
v
sous l’action à droite de G(F v ). La deuxième
assertion du lemme résulte de
(3) D
nr,0
v
forme une unique double classe modulo l’action à gauche de G η et à
droite de K ,v .
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agit à droite sur D v par ((η v , r v ), g) → (g
−1 η v g, r v g). Cette action étend celle
de G(F v ).
Supposons maintenant v ∈ V . Le groupe K v détermine un sous-groupe hyperspécial K ,v de G (F v ). On note K ,v le sous-groupe des éléments de G (F v )
dont l’image dans G (F v ) appartient à K ,v . Utilisons les notations de 1.5. On a
(1) K ,v est inclus dans Z(G)
θ K
nr
v ; pour g ∈ K ,v , l’automorphisme ad g de ˜
G
conserve ˜
K v .
Preuve. La surjectivité de l’application G → G se prolonge en la surjectivité de
l’application analogue entre les schémas en groupes associés à K v et K ,v . On voit
ainsi qu’il y a une suite exacte
1 → Z(G)
θ
∩ K
nr
v → K
nr
v → K
nr
,v → 1.
Tout élément de K ,v se relève donc en un élément de K
nr
v . La première assertion
en résulte. La seconde a été vue à la fin de la preuve de la proposition 2.1.
On note D
nr
v l’ensemble des (η v , r v ) ∈ D v tels qu’il existe h ∈ G(F v ) de sorte
que η v ∈ ad
−1
h ( ˜
K v ). Puisque v ∈ V , on a v ∈ S(X , ˜
K) d’après l’hypothèse 5.1(1).
Le lemme 1.6 implique alors que
(2) D
nr
v est non vide ; pour (η v , r v ) ∈ D
nr
v et h ∈ G(F v ) tel que η v ∈ ad
−1
h ( ˜
K v ), le
groupe G ηv est non ramifié et G ηv (F v ) ∩ ad
−1
h (K v ) est un sous-groupe hyperspécial de G ηv (F v ). Plus précisément, en notant K ηv le schéma en groupes associé à ce sous-groupe hyperspécial, on a K ηv (o E ) = G ηv (E)∩ad h −1 (K v (o E ))
pour toute extension non ramifiée E de F v .
Il est clair que D
nr
v est invariant à gauche par I η et à droite par G(F v ).
Remarquons que, puisque ad g est défini sur F v pour tout g ∈ G (F v ), les ensembles
G(F v )K ,v et K ,v G(F v ) sont égaux et ce sont des groupes.
Lemme. L’ensemble D
nr
v est stable par l’action à droite de K v,, . Il forme une
unique double classe modulo l’action à gauche de I η et à droite de K ,v G(F v ).
Preuve. Soient (η v , r v ) ∈ D
nr
v et k ∈ K ,v . Posons η
v = k
−1 η v k, r
v = r v k. Soit
h ∈ G(F v ) tel que η v ∈ ad
−1
h ( ˜
K v ). Posons h
= k
−1 hk. C’est un élément de G(F v ).
On a
η
v ∈ ad k −1 h −1 ( ˜
K v ) = ad h −1 k −1 ( ˜
K v ) = ad h −1 ( ˜
K v ),
la dernière égalité résultant de (1). Donc (η
v , r
v ) ∈ D
nr
v , ce qui prouve la première
assertion. Notons D
nr,0
v
le sous-ensemble des (η v , r v ) ∈ D v tels que η v ∈ ˜
K v . Par
définition, D
nr
v est engendré par D
nr,0
v
sous l’action à droite de G(F v ). La deuxième
assertion du lemme résulte de
(3) D
nr,0
v
forme une unique double classe modulo l’action à gauche de G η et à
droite de K ,v .