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Chapitre VII. Descente globale
Lemme. Supposons que la classe de conjugaison stable de dans ˜
G
(F v ) corresponde à une classe de conjugaison stable dans ˜
G(F v ). Alors D
rel
v n’est pas vide.
Preuve. Par hypothèse, il existe un diagramme (, B
, T
, B, T, η v ) joignant à un
élément semi-simple η v ∈ ˜
G(F v ). Comme on l’a vu en [I] 1.10, on peut remplacer
B
par n’importe quel Borel contenant T
, quitte à changer B. On peut donc
supposer que la paire (B
, T
) est conjuguée à la paire (B , T ) que l’on a fixée en
5.2 par un élément de G
. Comme on l’a vu dans la preuve de la proposition 1.2,
la construction de ce paragraphe est insensible à une telle conjugaison. Donc, en
utilisant la paire (B
, T
), on a l’égalité (μ , ω ) = (μ
, ω ¯
G
v
). Fixons r v ∈ G( ¯
F v ) tel
que ad rv (B, T ) = (B
∗ , T
∗ ). Dans la preuve du lemme 1.8(i), on a calculé le couple
(μ ηv , ω ηv ) déduit de la paire (B, T ). Il est égal à l’image (μ, ω ¯
Gv ) de (μ , ω ). Or
μ ηv est l’image de ad rv (η v ) dans (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G). Donc ad rv (η v )
et η ont même image dans cet ensemble. Quitte à multiplier r v à gauche par un
élément de T
∗ , on peut supposer ad rv (η v ) = η. Alors le couple (η v , r v ) appartient
à D v . Il se déduit de (B, T ) une paire de Borel (B , T ) = (B ∩ G ηv , T ∩ G ηv ) de
G ηv , puis une paire de Borel (B , T ) de G ηv ,SC . D’autre part, puisque ¯
H SC
et G
,SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de
Borel (B ¯
H , T ¯
H ) de ¯
H (on rappelle que le corps de base est ici F v ) qui correspond
à (B
sc , T
sc ). Puisque H v est une donnée endoscopique de (G ηv ,SC , ψ rv ), les deux
paires (B ¯
H , T ¯
H ) et (B , T ) définissent un isomorphisme de T sur T ¯
H . Les
propriétés d’équivariance du diagramme 5.2(1) entraînent que cet isomorphisme
est défini sur F v , autrement dit que les paires ci-dessus se correspondent. Cela
implique que H v est relevante pour (G ηv ,SC , ψ rv ).
Inversement, soit (η v , r v ) ∈ D
rel
v . On peut alors fixer des paires de Borel
(B ¯
H , T ¯
H ) de ¯
H et (B , T ) de G ηv qui se correspondent via le torseur ψ rv . Les
couples ad rv (B , T ) et ( ¯
B, ¯
T ) sont des paires de Borel de G η sur ¯
F v . On peut fixer
x v ∈ G η de sorte que ad xvrv (B , T ) = ( ¯
B, ¯
T ). Posons (B, T ) = ad
−1
xv rv (B
∗ , T
∗ ).
On a B ∩ G ηv = B et T ∩ G ηv = T . D’autre part, puisque les groupes G
,SC et
¯
H SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de Borel
(B , T ) de G
qui correspond à (B ¯
H , T ¯
H ). On peut fixer u v ∈ G
tel que (B , T ) =
ad uv (B
∗
, T ). Posons (B
, T
) = ad uv (B , T ). On a B
∩ G
= B et T
= T . De
nouveau, les propriétés d’équivariance du diagramme 5.2(1) entraînent que
(5) le sextuplet (, B
, T
, B, T, η v ) est un diagramme.
VII.5.5 Les places hors de V
Soit v une place de F , provisoirement quelconque. On a défini en [I] 2.7 le groupe
G = G/Z(G)
θ . On a une suite de projections G → G → G AD . On note G (F v )
le sous-groupe des g ∈ G( ¯
F v ) dont l’image dans G ( ¯
F v ) appartient à G (F v ). Pour
g ∈ G (F v ), les automorphismes ad g de G et de ˜
G sont tous deux définis sur F .
Pour (η v , r v ) ∈ D v , G (F v ) est inclus dans Y ηv . Il résulte de 5.4(4) que G (F v )
Chapitre VII. Descente globale
Lemme. Supposons que la classe de conjugaison stable de dans ˜
G
(F v ) corresponde à une classe de conjugaison stable dans ˜
G(F v ). Alors D
rel
v n’est pas vide.
Preuve. Par hypothèse, il existe un diagramme (, B
, T
, B, T, η v ) joignant à un
élément semi-simple η v ∈ ˜
G(F v ). Comme on l’a vu en [I] 1.10, on peut remplacer
B
par n’importe quel Borel contenant T
, quitte à changer B. On peut donc
supposer que la paire (B
, T
) est conjuguée à la paire (B , T ) que l’on a fixée en
5.2 par un élément de G
. Comme on l’a vu dans la preuve de la proposition 1.2,
la construction de ce paragraphe est insensible à une telle conjugaison. Donc, en
utilisant la paire (B
, T
), on a l’égalité (μ , ω ) = (μ
, ω ¯
G
v
). Fixons r v ∈ G( ¯
F v ) tel
que ad rv (B, T ) = (B
∗ , T
∗ ). Dans la preuve du lemme 1.8(i), on a calculé le couple
(μ ηv , ω ηv ) déduit de la paire (B, T ). Il est égal à l’image (μ, ω ¯
Gv ) de (μ , ω ). Or
μ ηv est l’image de ad rv (η v ) dans (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G). Donc ad rv (η v )
et η ont même image dans cet ensemble. Quitte à multiplier r v à gauche par un
élément de T
∗ , on peut supposer ad rv (η v ) = η. Alors le couple (η v , r v ) appartient
à D v . Il se déduit de (B, T ) une paire de Borel (B , T ) = (B ∩ G ηv , T ∩ G ηv ) de
G ηv , puis une paire de Borel (B , T ) de G ηv ,SC . D’autre part, puisque ¯
H SC
et G
,SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de
Borel (B ¯
H , T ¯
H ) de ¯
H (on rappelle que le corps de base est ici F v ) qui correspond
à (B
sc , T
sc ). Puisque H v est une donnée endoscopique de (G ηv ,SC , ψ rv ), les deux
paires (B ¯
H , T ¯
H ) et (B , T ) définissent un isomorphisme de T sur T ¯
H . Les
propriétés d’équivariance du diagramme 5.2(1) entraînent que cet isomorphisme
est défini sur F v , autrement dit que les paires ci-dessus se correspondent. Cela
implique que H v est relevante pour (G ηv ,SC , ψ rv ).
Inversement, soit (η v , r v ) ∈ D
rel
v . On peut alors fixer des paires de Borel
(B ¯
H , T ¯
H ) de ¯
H et (B , T ) de G ηv qui se correspondent via le torseur ψ rv . Les
couples ad rv (B , T ) et ( ¯
B, ¯
T ) sont des paires de Borel de G η sur ¯
F v . On peut fixer
x v ∈ G η de sorte que ad xvrv (B , T ) = ( ¯
B, ¯
T ). Posons (B, T ) = ad
−1
xv rv (B
∗ , T
∗ ).
On a B ∩ G ηv = B et T ∩ G ηv = T . D’autre part, puisque les groupes G
,SC et
¯
H SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de Borel
(B , T ) de G
qui correspond à (B ¯
H , T ¯
H ). On peut fixer u v ∈ G
tel que (B , T ) =
ad uv (B
∗
, T ). Posons (B
, T
) = ad uv (B , T ). On a B
∩ G
= B et T
= T . De
nouveau, les propriétés d’équivariance du diagramme 5.2(1) entraînent que
(5) le sextuplet (, B
, T
, B, T, η v ) est un diagramme.
VII.5.5 Les places hors de V
Soit v une place de F , provisoirement quelconque. On a défini en [I] 2.7 le groupe
G = G/Z(G)
θ . On a une suite de projections G → G → G AD . On note G (F v )
le sous-groupe des g ∈ G( ¯
F v ) dont l’image dans G ( ¯
F v ) appartient à G (F v ). Pour
g ∈ G (F v ), les automorphismes ad g de G et de ˜
G sont tous deux définis sur F .
Pour (η v , r v ) ∈ D v , G (F v ) est inclus dans Y ηv . Il résulte de 5.4(4) que G (F v )