VII.5. Descente
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de T
∗ , on obtient un élément r v tel que (1) soit vérifiée. La propriété (2) l’est aussi
par construction. Alors (η v , r v ) ∈ D v , ce qui prouve (3).
Fixons (η v , r v ) ∈ D v et rappelons que l’on a défini l’ensemble Y ηv en 1.2 ;
montrons que
(4) l’ensemble D v coïncide avec l’ensemble des (y
−1 η v y, r v y) pour y ∈ Y ηv .
Preuve. Pour y ∈ Y ηv , il est clair que l’élément (y
−1 η v y, r v y) vérifie (1). Il résulte
du (iii) de la proposition 1.2 que le couple (ω y −1 ηv y , ω y −1 ηv y ) associé à y
−1 η v y
et à la paire ad y −1 r
−1
v
(B
∗ , T
∗ ) est égal au couple (μ ηv , ω ηv ) associé à η v et à la
paire ad r
−1
v
(B
∗ , T
∗ ), donc à (μ, ω ¯
Gv ). Donc (y
−1 η v y, r v y) ∈ D v . Inversement, soit
(η
v , r
v ) ∈ D v . La même proposition 1.2(iii) implique qu’il existe y 1 ∈ Y ηv de sorte
que η
v = y
−1
1 η v y 1 et ad r
v
−1 (B
∗ , T
∗ ) = ad y
−1
1 r
−1
v
(B
∗ , T
∗ ). Cette dernière égalité
implique r
v ∈ T
∗ r v y 1 . En posant T = ad r
−1
v
(T
∗ ), cela équivaut à l’existence de
t ∈ T tel que r
v = r v ty 1 . Les égalités r
v η
v r
v
−1 = η = r v η v r
−1
v
et η
v = y
−1
1 η v y 1
impliquent alors tη v t
−1 = η v , donc t ∈ T
θ
⊂ I ηv . L’élément y = ty 1 appartient à
Y ηv et on a l’égalité (η
v , r
v ) = (y
−1 η v y, r v y). Cela prouve (4).
Soit (η v , r v ) ∈ D v . La donnée locale H v étant une donnée endoscopique de
¯
G SC est aussi une donnée endoscopique pour G ηv ,SC , via le torseur ψ rv introduit ci-dessus. On dira plus précisément que c’est une donnée endoscopique pour
(G ηv ,SC , ψ rv ). On note D
rel
v l’ensemble des (η v , r v ) ∈ D v tels que H v est relevante
pour (G ηv ,SC , ψ rv ). Pour deux éléments (η v , r v ) et (η
v , r
v ) de D v dans la même
double classe modulo les actions de I η à gauche et de G(F v ) à droite, les couples
(G ηv , ψ rv ) et (G η
v
, ψ r
v
) sont isomorphes. Il en résulte que D
rel
v est invariant par
les actions de I η et G(F v ).
On a défini l’ensemble J (H) en 5.3. Introduisons un ensemble J • (H) a priori
plus gros. Notons E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ) l’ensemble des données endoscopiques de (G, ˜
G, a)
qui sont de la forme G
= (G
, G
, s ˆ
θ) avec s ∈ ˆ
T et qui sont elliptiques et non
ramifiées hors de V . Fixons un ensemble de représentants E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ) des classes
de ˆ
T -équivalence dans E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ). La différence avec E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) est que les
données G
ne sont pas supposées relevantes. Une partie de nos constructions
vaut aussi bien sans cette hypothèse de relevance. On peut supposer E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) ⊂
E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ). On note J • (H) l’ensemble des triplets (G
, μ
, ω ¯
G ), où
G
∈ E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ) et (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G
(F )),
tels que
– (μ
, ω ¯
G ) → (μ, ω ¯
G ) ;
– (μ
, ω ¯
G ) est elliptique et S(p ˜
G (μ
, ω ¯
G ), ˜
K
) ⊂ V ;
– H est associé à (G
, μ
, ω ¯
G ) par la construction de 5.2.
Soit (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J • (H). On définit un élément ∈ ˜
G
(F ) comme en 5.2,
dont on reprend les notations.
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de T
∗ , on obtient un élément r v tel que (1) soit vérifiée. La propriété (2) l’est aussi
par construction. Alors (η v , r v ) ∈ D v , ce qui prouve (3).
Fixons (η v , r v ) ∈ D v et rappelons que l’on a défini l’ensemble Y ηv en 1.2 ;
montrons que
(4) l’ensemble D v coïncide avec l’ensemble des (y
−1 η v y, r v y) pour y ∈ Y ηv .
Preuve. Pour y ∈ Y ηv , il est clair que l’élément (y
−1 η v y, r v y) vérifie (1). Il résulte
du (iii) de la proposition 1.2 que le couple (ω y −1 ηv y , ω y −1 ηv y ) associé à y
−1 η v y
et à la paire ad y −1 r
−1
v
(B
∗ , T
∗ ) est égal au couple (μ ηv , ω ηv ) associé à η v et à la
paire ad r
−1
v
(B
∗ , T
∗ ), donc à (μ, ω ¯
Gv ). Donc (y
−1 η v y, r v y) ∈ D v . Inversement, soit
(η
v , r
v ) ∈ D v . La même proposition 1.2(iii) implique qu’il existe y 1 ∈ Y ηv de sorte
que η
v = y
−1
1 η v y 1 et ad r
v
−1 (B
∗ , T
∗ ) = ad y
−1
1 r
−1
v
(B
∗ , T
∗ ). Cette dernière égalité
implique r
v ∈ T
∗ r v y 1 . En posant T = ad r
−1
v
(T
∗ ), cela équivaut à l’existence de
t ∈ T tel que r
v = r v ty 1 . Les égalités r
v η
v r
v
−1 = η = r v η v r
−1
v
et η
v = y
−1
1 η v y 1
impliquent alors tη v t
−1 = η v , donc t ∈ T
θ
⊂ I ηv . L’élément y = ty 1 appartient à
Y ηv et on a l’égalité (η
v , r
v ) = (y
−1 η v y, r v y). Cela prouve (4).
Soit (η v , r v ) ∈ D v . La donnée locale H v étant une donnée endoscopique de
¯
G SC est aussi une donnée endoscopique pour G ηv ,SC , via le torseur ψ rv introduit ci-dessus. On dira plus précisément que c’est une donnée endoscopique pour
(G ηv ,SC , ψ rv ). On note D
rel
v l’ensemble des (η v , r v ) ∈ D v tels que H v est relevante
pour (G ηv ,SC , ψ rv ). Pour deux éléments (η v , r v ) et (η
v , r
v ) de D v dans la même
double classe modulo les actions de I η à gauche et de G(F v ) à droite, les couples
(G ηv , ψ rv ) et (G η
v
, ψ r
v
) sont isomorphes. Il en résulte que D
rel
v est invariant par
les actions de I η et G(F v ).
On a défini l’ensemble J (H) en 5.3. Introduisons un ensemble J • (H) a priori
plus gros. Notons E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ) l’ensemble des données endoscopiques de (G, ˜
G, a)
qui sont de la forme G
= (G
, G
, s ˆ
θ) avec s ∈ ˆ
T et qui sont elliptiques et non
ramifiées hors de V . Fixons un ensemble de représentants E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ) des classes
de ˆ
T -équivalence dans E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ). La différence avec E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) est que les
données G
ne sont pas supposées relevantes. Une partie de nos constructions
vaut aussi bien sans cette hypothèse de relevance. On peut supposer E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) ⊂
E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ). On note J • (H) l’ensemble des triplets (G
, μ
, ω ¯
G ), où
G
∈ E ˆ
T ,• ( ˜
G, a, V ) et (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G
(F )),
tels que
– (μ
, ω ¯
G ) → (μ, ω ¯
G ) ;
– (μ
, ω ¯
G ) est elliptique et S(p ˜
G (μ
, ω ¯
G ), ˜
K
) ⊂ V ;
– H est associé à (G
, μ
, ω ¯
G ) par la construction de 5.2.
Soit (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J • (H). On définit un élément ∈ ˜
G
(F ) comme en 5.2,
dont on reprend les notations.