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Chapitre VII. Descente globale
Pour H ∈ E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G SC , V ), on note J (H) la fibre de cette application. On note
A
˜
G,E (V, H, ω) la sous-somme de l’expression 5.1(6), où on somme sur les triplets
(G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H). Autrement dit
A
˜
G,E (V, H, ω) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1
(G ,μ ,ω ¯
G )∈J (H)
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G ) transfert(SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G ))).
On a l’égalité
(1)
A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω) =
H∈E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
GSC,V )
A
˜
G,E (V, H, ω).
On fixe jusqu’en 8.1 une donnée H ∈ E ˆ ¯
Tad,•
( ¯
G SC , V ). On va étudier la
distribution A
˜
G,E (V, H, ω).
VII.5.4 Propriétés de relevance
Soit v ∈ Val(F ), plaçons-nous sur le corps F v . Considérons l’ensemble D v des
couples (η v , r v ) ∈ ˜
G(F v ) × G( ¯
F v ) tels que
(1) r v η v r
−1
v = η ;
(2) en utilisant la paire de Borel ad r
−1
v
(B
∗ , T
∗ ) dans la construction de 1.2, on
ait l’égalité (μ ηv , ω ηv ) = (μ, ω ¯
Gv ).
On peut traduire cette condition (2) de la façon suivante. La condition (1)
implique que l’automorphisme ad rv se restreint en un isomorphisme de G ηv sur
G η = ¯
G. Le groupe G ηv étant muni de sa structure galoisienne naturelle et le
groupe ¯
G étant muni de sa structure quasi-déployée définie en 5.2, (2) équivaut à
ce que ad rv soit un torseur intérieur de G ηv sur ¯
G que l’on note ψ rv .
Le groupe I η = I η ( ¯
F v ) agit à gauche sur D v par (x, (η v , r v )) → (η v , xr v ). Le
groupe G(F v ) agit à droite par ((η v , r v ), g) → (g
−1 η v g v , r v g).
On se rappelle notre hypothèse 5.1(3) : l’image de X dans Stab( ˜
G(F v ))
appartient à l’image de l’application χ
˜
Gv . Montrons que
(3) l’ensemble D v est non vide.
Preuve. La proposition 1.2 vaut bien sûr aussi sur le corps de base F v . L’hypothèse 5.1(3) implique que l’on peut fixer η v ∈ ˜
G ss (F v ) et une paire de Borel
(B, T ) conservée par ad ηv de sorte que le couple (μ ηv , ω ηv ) déduit de ces données
ait même image que (μ, ω ¯
Gv ) dans Stab( ˜
G(F v )). D’après 1.2(3), on peut modifier (B, T ) de sorte que (μ ηv , ω ηv ) = (μ, ω ¯
Gv ). Fixons r
v ∈ G = G( ¯
F v ) tel que
(B, T ) = ad r
v
−1 (B
∗ , T
∗ ). Par construction, l’égalité μ ηv = μ équivaut à la relation
r
v η v r
v
−1 ∈ (1 − θ
∗ )(T
∗ )η. En multipliant r
v à gauche par un élément convenable
Chapitre VII. Descente globale
Pour H ∈ E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G SC , V ), on note J (H) la fibre de cette application. On note
A
˜
G,E (V, H, ω) la sous-somme de l’expression 5.1(6), où on somme sur les triplets
(G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H). Autrement dit
A
˜
G,E (V, H, ω) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1
(G ,μ ,ω ¯
G )∈J (H)
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G ) transfert(SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G ))).
On a l’égalité
(1)
A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω) =
H∈E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
GSC,V )
A
˜
G,E (V, H, ω).
On fixe jusqu’en 8.1 une donnée H ∈ E ˆ ¯
Tad,•
( ¯
G SC , V ). On va étudier la
distribution A
˜
G,E (V, H, ω).
VII.5.4 Propriétés de relevance
Soit v ∈ Val(F ), plaçons-nous sur le corps F v . Considérons l’ensemble D v des
couples (η v , r v ) ∈ ˜
G(F v ) × G( ¯
F v ) tels que
(1) r v η v r
−1
v = η ;
(2) en utilisant la paire de Borel ad r
−1
v
(B
∗ , T
∗ ) dans la construction de 1.2, on
ait l’égalité (μ ηv , ω ηv ) = (μ, ω ¯
Gv ).
On peut traduire cette condition (2) de la façon suivante. La condition (1)
implique que l’automorphisme ad rv se restreint en un isomorphisme de G ηv sur
G η = ¯
G. Le groupe G ηv étant muni de sa structure galoisienne naturelle et le
groupe ¯
G étant muni de sa structure quasi-déployée définie en 5.2, (2) équivaut à
ce que ad rv soit un torseur intérieur de G ηv sur ¯
G que l’on note ψ rv .
Le groupe I η = I η ( ¯
F v ) agit à gauche sur D v par (x, (η v , r v )) → (η v , xr v ). Le
groupe G(F v ) agit à droite par ((η v , r v ), g) → (g
−1 η v g v , r v g).
On se rappelle notre hypothèse 5.1(3) : l’image de X dans Stab( ˜
G(F v ))
appartient à l’image de l’application χ
˜
Gv . Montrons que
(3) l’ensemble D v est non vide.
Preuve. La proposition 1.2 vaut bien sûr aussi sur le corps de base F v . L’hypothèse 5.1(3) implique que l’on peut fixer η v ∈ ˜
G ss (F v ) et une paire de Borel
(B, T ) conservée par ad ηv de sorte que le couple (μ ηv , ω ηv ) déduit de ces données
ait même image que (μ, ω ¯
Gv ) dans Stab( ˜
G(F v )). D’après 1.2(3), on peut modifier (B, T ) de sorte que (μ ηv , ω ηv ) = (μ, ω ¯
Gv ). Fixons r
v ∈ G = G( ¯
F v ) tel que
(B, T ) = ad r
v
−1 (B
∗ , T
∗ ). Par construction, l’égalité μ ηv = μ équivaut à la relation
r
v η v r
v
−1 ∈ (1 − θ
∗ )(T
∗ )η. En multipliant r
v à gauche par un élément convenable