VII.5. Descente
817
La preuve est la même qu’en 1.7(4). Soit v ∈ V et σ dans le groupe d’inertie
I v . L’hypothèse implique ω ¯
G (σ) = 1. On a ω G (σ) = 1 puisque G
n’est pas
ramifiée en v. Donc ω ¯
G (σ) = ω ¯
H (σ)
−1 . Cet élément appartient à W
¯
G car ω ¯
H (σ) ∈
W
¯
G et il conserve l’ensemble des racines positives de ¯
T dans ¯
G car c’est le cas de
ω ¯
G (σ). Ces deux conditions entraînent qu’il est égal à 1, c’est-à-dire ω ¯
H (σ) = 1.
Dans le cas d’endoscopie non tordue, cela suffit à assurer que la donnée ( ¯
H, ¯
H, ¯
s)
est non ramifiée en v.
Posons quelques définitions. Soit v une place de F . Soient ¯
G 0 un groupe réductif connexe défini sur F v et ψ v : ¯
G 0 → ¯
G un torseur intérieur (pour l’action
de Γ Fv ). Soient (B , T ), (B ¯
H , T ¯
H ), (B , T ) et (B ,0 , T ,0 ) des paires de Borel respectivement de G
, ¯
H, ¯
G et ¯
G 0 définies sur ¯
F v . En conjuguant les trois premières
paires en celles fixées plus haut, on obtient des isomorphismes
(5)
X ∗,Q (T ¯
H,sc ) X ∗,Q (T )
et
(6)
T ¯
H T .
La donnée de ψ v établit aussi un isomorphisme
(7)
T T ,0 .
Il se déduit de (6) et (7) un isomorphisme
(8)
T ¯
H T ,0,sc
qui ne dépend pas de la paire (B , T ). On dit que (B , T ) et (B ¯
H , T ¯
H ) se correspondent si T et T ¯
H sont définis sur F v et que (5) est équivariant pour l’action de
Γ Fv . On définit de même la notion de correspondance entre (B ¯
H , T ¯
H ) et (B , T ),
resp. (B , T ) et (B ,0 , T ,0 ), resp. (B ¯
H , T ¯
H ) et (B ,0 , T ,0 ), en remplaçant l’isomorphisme (5) respectivement par (6), (7) et (8).
Les mêmes définitions peuvent être posées sur le corps de base F , en remplaçant simplement ci-dessus F v et ¯
F v par F et ¯
F .
VII.5.3 La sous-somme attachée à une donnée endoscopique H
Considérons la définition 5.1(6). Dans la somme en (μ
, ω ¯
G ), on peut ajouter les
conditions que (μ
, ω ¯
G ) est elliptique et que S(p ˜
G (μ
, ω ¯
G ), ˜
K
) ⊂ V . En effet,
si elles ne sont pas vérifiées, la distribution SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G )) est nulle. Notons E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G SC , V ) l’ensemble des données endoscopiques de ¯
G SC de la forme
¯
H = ( ¯
H, ¯
H, ¯
s), où ¯
s ∈ ˆ ¯
T ad , qui sont elliptiques et non ramifiées hors de V . A partir de G
= (G
, G
, s ˆ
θ) ∈ E ˆ
T (G, ω, V ) et de (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G
(F )) vérifiant les
deux conditions ci-dessus et tel que (μ
, ω ¯
G ) → (μ, ω ¯
G ), on a construit une donnée endoscopique ¯
H de ¯
G SC , qui appartient à E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G SC , V ), cf. 5.2(3) et (4).
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La preuve est la même qu’en 1.7(4). Soit v ∈ V et σ dans le groupe d’inertie
I v . L’hypothèse implique ω ¯
G (σ) = 1. On a ω G (σ) = 1 puisque G
n’est pas
ramifiée en v. Donc ω ¯
G (σ) = ω ¯
H (σ)
−1 . Cet élément appartient à W
¯
G car ω ¯
H (σ) ∈
W
¯
G et il conserve l’ensemble des racines positives de ¯
T dans ¯
G car c’est le cas de
ω ¯
G (σ). Ces deux conditions entraînent qu’il est égal à 1, c’est-à-dire ω ¯
H (σ) = 1.
Dans le cas d’endoscopie non tordue, cela suffit à assurer que la donnée ( ¯
H, ¯
H, ¯
s)
est non ramifiée en v.
Posons quelques définitions. Soit v une place de F . Soient ¯
G 0 un groupe réductif connexe défini sur F v et ψ v : ¯
G 0 → ¯
G un torseur intérieur (pour l’action
de Γ Fv ). Soient (B , T ), (B ¯
H , T ¯
H ), (B , T ) et (B ,0 , T ,0 ) des paires de Borel respectivement de G
, ¯
H, ¯
G et ¯
G 0 définies sur ¯
F v . En conjuguant les trois premières
paires en celles fixées plus haut, on obtient des isomorphismes
(5)
X ∗,Q (T ¯
H,sc ) X ∗,Q (T )
et
(6)
T ¯
H T .
La donnée de ψ v établit aussi un isomorphisme
(7)
T T ,0 .
Il se déduit de (6) et (7) un isomorphisme
(8)
T ¯
H T ,0,sc
qui ne dépend pas de la paire (B , T ). On dit que (B , T ) et (B ¯
H , T ¯
H ) se correspondent si T et T ¯
H sont définis sur F v et que (5) est équivariant pour l’action de
Γ Fv . On définit de même la notion de correspondance entre (B ¯
H , T ¯
H ) et (B , T ),
resp. (B , T ) et (B ,0 , T ,0 ), resp. (B ¯
H , T ¯
H ) et (B ,0 , T ,0 ), en remplaçant l’isomorphisme (5) respectivement par (6), (7) et (8).
Les mêmes définitions peuvent être posées sur le corps de base F , en remplaçant simplement ci-dessus F v et ¯
F v par F et ¯
F .
VII.5.3 La sous-somme attachée à une donnée endoscopique H
Considérons la définition 5.1(6). Dans la somme en (μ
, ω ¯
G ), on peut ajouter les
conditions que (μ
, ω ¯
G ) est elliptique et que S(p ˜
G (μ
, ω ¯
G ), ˜
K
) ⊂ V . En effet,
si elles ne sont pas vérifiées, la distribution SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G )) est nulle. Notons E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G SC , V ) l’ensemble des données endoscopiques de ¯
G SC de la forme
¯
H = ( ¯
H, ¯
H, ¯
s), où ¯
s ∈ ˆ ¯
T ad , qui sont elliptiques et non ramifiées hors de V . A partir de G
= (G
, G
, s ˆ
θ) ∈ E ˆ
T (G, ω, V ) et de (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G
(F )) vérifiant les
deux conditions ci-dessus et tel que (μ
, ω ¯
G ) → (μ, ω ¯
G ), on a construit une donnée endoscopique ¯
H de ¯
G SC , qui appartient à E ˆ ¯
T ad ,•
( ¯
G SC , V ), cf. 5.2(3) et (4).