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Chapitre VII. Descente globale
a alors un diagramme
(1)
T
¯
H
sc
T ,sc
↓
T
¯
H
↓
¯
T sc
T
↓
¯
T
↓
T
∗
→ T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) T
G
(on a noté T
¯
H
sc , resp. T ,sc , ¯
T sc , les images réciproques de T
¯
H dans ¯
H SC , resp. de T
dans G
,SC , resp. de ¯
T dans ¯
G SC ). Pour tout tore S, posons X ∗,Q (S) = X ∗ (S)⊗ Z Q.
Le lemme [79] 3.6 affirme qu’il se déduit de ce diagramme un isomorphisme
X ∗,Q (T
¯
H
sc ) X ∗,Q (T ,sc )
qui est équivariant pour les actions galoisiennes et grâce auquel les deux groupes
¯
H SC et G
,SC forment une paire endoscopique non standard.
Le lemme [79] 3.6 nous dit que du diagramme (1) se déduit un diagramme
commutatif
(2)
X ∗,Q (Z(G)
θ,0 )
→ X ∗,Q (Z(G
)
0 )
↓
X ∗,Q (Z( ¯
G)
0 )
↓
↓
X ∗,Q (Z( ¯
G)
0 ) ⊕ X ∗,Q (Z( ¯
H)
0 ) X ∗,Q (Z(G
)
0 ) .
Il est formé d’applications injectives équivariantes pour les actions galoisiennes et
la flèche du bas est un isomorphisme.
On a
(3) supposons (μ
, ω ¯
G ) elliptique ; alors la donnée endoscopique ¯
H de ¯
G SC est
elliptique.
Preuve. L’hypothèse implique que est elliptique dans ˜
G
(F ). Dans le diagramme
(2), on prend les invariants par Γ F . La flèche verticale de droite devient un isomorphisme par ellipticité de . La flèche horizontale du haut aussi par ellipticité
de G
. Donc les deux flèches de gauche deviennent aussi des isomorphismes. Cela
entraîne X ∗,Q (Z( ¯
H)
0 )
ΓF = {0} et l’assertion.
On a
(4) supposons S(p ˜
G (μ
, ω ¯
G ), ˜
K
) ⊂ V ; alors la donnée ¯
H est non ramifiée hors
de V .