VII.5. Descente
815
Considérons une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) de la forme
G
= (G
, G
, s ˆ
θ),
avec s ∈ ˆ
T . On la suppose elliptique.
Soit (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G
(F )) tel que (μ
, ω ¯
G ) → (μ, ω ¯
G ). Posons ˆ ¯
T ad =
ˆ ¯
T /Z( ˆ ¯
G). C’est un quotient de ˆ
T . Notons ¯
s l’image de s dans ce groupe. Posons
ˆ ¯
H = Z ˆ ¯
GAD
(¯ s)
0 . On munit ce groupe de la paire de Borel ( ˆ ¯
B ad ∩ ˆ ¯
H, ˆ ¯
T ad ). D’après
la définition de 1.7, il y a une unique cochaîne σ → ω ¯
H (σ) de Γ F dans W (μ) de
sorte que l’on ait l’égalité
ω ¯
G (σ)ω G (σ) = ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)
pour tout σ ∈ Γ F . Cette cochaîne s’étend en une cochaîne définie sur W F . Puisque
W (μ) = W
ˆ ¯
G = W
ˆ ¯
GAD , pour tout w ∈ W F , on peut relever ω ¯
H (w) en un élément
¯
g(w) ∈ ˆ ¯
G AD qui normalise ˆ ¯
T ad . On définit le sous-groupe ¯
H ⊂
L ( ¯
G SC ) = ˆ ¯
G AD
W F engendré par ˆ ¯
H et les (¯ g(w), w) pour w ∈ W F . On a prouvé en [79] 3.5 que
ce groupe s’insérait dans une extension scindée
1 → ˆ ¯
H → ¯
H → W F → 1.
On peut donc munir ˆ ¯
H d’une L-action galoisienne compatible avec cette extension.
On introduit le groupe réductif ¯
H défini et quasi-déployé sur F tel que ˆ ¯
H, muni
de cette action galoisienne, soit le groupe dual de ¯
H. On a prouvé en [79] 3.5
que le triplet ¯
H = ( ¯
H, ¯
H, ¯
s) était une donnée endoscopique de ¯
G SC . Il s’agit ici
d’endoscopie non tordue, toute torsion et tout caractère ont disparu. On fixe une
paire de Borel (B
¯
H , T
¯
H ) de ¯
H définie sur F .
Remarque. Dans [79], la situation de départ n’était pas la même qu’ici, on partait d’un diagramme. Mais on vérifie aisément que les présentes hypothèses sont
suffisantes pour assurer la validité des propriétés énoncées ci-dessus. La même
remarque vaut pour la suite. D’autre part, dans [79], le corps de base était local non-archimédien mais les constructions valent évidemment pour tout corps de
base. Enfin, on a déjà repris cette construction dans la section 5 de [III], où l’on a
noté ¯
G
la donnée ¯
H. Il nous semble plus clair de revenir ici à la notation de [79],
la notation ¯
G
étant déjà utilisée.
Fixons un élément ∈ ˜
G
ss (F ) et une paire de Borel (B , T ) vérifiant les
conditions du (ii) du lemme 1.3 relativement à l’élément (μ
, ω ¯
G ). Le groupe G
est quasi-déployé et est muni de la paire de Borel (B
∗
, T ) définie dans ce lemme.
Fixons une paire de Borel (B
G
, T
G
) de G
définie sur F . Par la construction de
ce lemme, le tore T s’identifie à T
G
, l’identification n’étant pas Γ F -équivariante :
elle identifie l’action galoisienne sur T avec l’action σ → ω ¯
G (σ)σ G sur T
G
. On
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Considérons une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) de la forme
G
= (G
, G
, s ˆ
θ),
avec s ∈ ˆ
T . On la suppose elliptique.
Soit (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G
(F )) tel que (μ
, ω ¯
G ) → (μ, ω ¯
G ). Posons ˆ ¯
T ad =
ˆ ¯
T /Z( ˆ ¯
G). C’est un quotient de ˆ
T . Notons ¯
s l’image de s dans ce groupe. Posons
ˆ ¯
H = Z ˆ ¯
GAD
(¯ s)
0 . On munit ce groupe de la paire de Borel ( ˆ ¯
B ad ∩ ˆ ¯
H, ˆ ¯
T ad ). D’après
la définition de 1.7, il y a une unique cochaîne σ → ω ¯
H (σ) de Γ F dans W (μ) de
sorte que l’on ait l’égalité
ω ¯
G (σ)ω G (σ) = ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)
pour tout σ ∈ Γ F . Cette cochaîne s’étend en une cochaîne définie sur W F . Puisque
W (μ) = W
ˆ ¯
G = W
ˆ ¯
GAD , pour tout w ∈ W F , on peut relever ω ¯
H (w) en un élément
¯
g(w) ∈ ˆ ¯
G AD qui normalise ˆ ¯
T ad . On définit le sous-groupe ¯
H ⊂
L ( ¯
G SC ) = ˆ ¯
G AD
W F engendré par ˆ ¯
H et les (¯ g(w), w) pour w ∈ W F . On a prouvé en [79] 3.5 que
ce groupe s’insérait dans une extension scindée
1 → ˆ ¯
H → ¯
H → W F → 1.
On peut donc munir ˆ ¯
H d’une L-action galoisienne compatible avec cette extension.
On introduit le groupe réductif ¯
H défini et quasi-déployé sur F tel que ˆ ¯
H, muni
de cette action galoisienne, soit le groupe dual de ¯
H. On a prouvé en [79] 3.5
que le triplet ¯
H = ( ¯
H, ¯
H, ¯
s) était une donnée endoscopique de ¯
G SC . Il s’agit ici
d’endoscopie non tordue, toute torsion et tout caractère ont disparu. On fixe une
paire de Borel (B
¯
H , T
¯
H ) de ¯
H définie sur F .
Remarque. Dans [79], la situation de départ n’était pas la même qu’ici, on partait d’un diagramme. Mais on vérifie aisément que les présentes hypothèses sont
suffisantes pour assurer la validité des propriétés énoncées ci-dessus. La même
remarque vaut pour la suite. D’autre part, dans [79], le corps de base était local non-archimédien mais les constructions valent évidemment pour tout corps de
base. Enfin, on a déjà repris cette construction dans la section 5 de [III], où l’on a
noté ¯
G
la donnée ¯
H. Il nous semble plus clair de revenir ici à la notation de [79],
la notation ¯
G
étant déjà utilisée.
Fixons un élément ∈ ˜
G
ss (F ) et une paire de Borel (B , T ) vérifiant les
conditions du (ii) du lemme 1.3 relativement à l’élément (μ
, ω ¯
G ). Le groupe G
est quasi-déployé et est muni de la paire de Borel (B
∗
, T ) définie dans ce lemme.
Fixons une paire de Borel (B
G
, T
G
) de G
définie sur F . Par la construction de
ce lemme, le tore T s’identifie à T
G
, l’identification n’étant pas Γ F -équivariante :
elle identifie l’action galoisienne sur T avec l’action σ → ω ¯
G (σ)σ G sur T
G
. On