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Chapitre VII. Descente globale
Pour tout (μ, ω ¯
G ) ∈ Fib(X ), on a la formule parallèle à (4) :
| Fib(X )| = |W
θ
||W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1 .
Posons
(6)
A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω) = |W
G (μ)|
−1
| Fix
G (μ, ω ¯
G )|
−1
G ∈E ˆ
T (G,a,V )
(μ
,ω ¯
G )∈Stab( ˜
G
(F )),
(μ
,ω ¯
G ) →(μ,ω ¯
G )
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G ) transfert(SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G ))).
On obtient la formule
A
˜
G,E (V, X , ω) = | Fib(X )|
−1
(μ,ω ¯
G )∈Fib(X )
A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω).
Enonçons une forme plus précise du théorème 3.3, qui implique celui-ci d’après la
formule précédente.
Proposition. Soient X et V comme plus haut. Pour tout (μ, ω ¯
G ) ∈ Fib(X ), on a
l’égalité
A
˜
G,E (V, μ, ω ¯
G , ω) = A
˜
G (V, X , ω).
C’est cette assertion que nous allons prouver. On fixe jusqu’à la fin de la
preuve un élément (μ, ω ¯
G ) ∈ Fib(X ).
VII.5.2 Descente des données endoscopiques
On identifie la paire de Borel épinglée E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E α ) α∈Δ ) de G à une paire
particulière. On relève μ en (ν, e) avec ν ∈ T
∗ et e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ). On pose η = νe
et ¯
G = G η . On note ¯
T le tore T
∗,θ
∗ ,0 vu comme un sous-tore maximal de ¯
G. On
rappelle que Σ(μ) s’identifie à l’ensemble de racines Σ
¯
G ( ¯
T ) de ¯
T dans ¯
G. On fixe
une paire de Borel épinglée ¯
E de ¯
G dont la paire de Borel sous-jacente soit ( ¯
B, ¯
T ),
où ¯
B = B
∗
∩ ¯
G, et on munit ¯
G de l’unique action galoisienne σ → σ ¯
G conservant
¯
E et coïncidant sur ¯
T = T
∗,θ,0 avec l’action σ → ω ¯
G (σ)σ G ∗ . Il est clair que cette
action galoisienne s’étend en une action sur le groupe I η = Z(G)
θ ¯
G et on munit
ce groupe de cette action. On introduit le groupe dual ˆ ¯
G, muni d’une paire de
Borel épinglée dont on note la paire sous-jacente ( ˆ ¯
B, ˆ ¯
T ). On peut identifier ˆ ¯
T à
ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ), muni de l’action galoisienne σ → ω ¯
G (σ)σ G ∗ . L’ensemble de racines
Σ
ˆ ¯
G ( ˆ ¯
T ) est en bijection avec Σ(μ) et le sous-ensemble positif déterminé par ˆ ¯
B
correspond au sous-ensemble Σ + (μ).