VII.5. Descente
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Soit G
= (G
, G
, s ˆ
θ) ∈ E ˆ
T (G, a, V ). On fixe une paire de Borel épinglée de
ˆ
G
dont la paire de Borel sous-jacente ( ˆ
B
, ˆ
T
) est ( ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ). En utilisant
les notations de 1.7, cela définit l’application ξ : T
∗
→ T
∗ et une application
Stab( ˜
G
(F )) → Stab( ˜
G(F )) que l’on note simplement (μ
, ω ¯
G ) → (μ, ω ¯
G ). Notons
ici p ˜
G : Stab( ˜
G(F )) → Stab( ˜
G(F )) l’application naturelle.
Remarque. Les hypothèses que G
est relevante et non ramifiée hors de V n’interviennent pas ici. Les mêmes notations seront utilisées plus loin pour des données
ne vérifiant pas ces hypothèses.
Pour Y ∈ Stab( ˜
G(F )), notons Fib(Y) la fibre de p ˜
G au-dessus de Y. On
adopte de mêmes notations pour ˜
G
. Sommer sur les X
∈ Stab( ˜
G
(F )) tels que
X
→ X revient à sommer sur les (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )) tels que p ˜
G (μ, ω ¯
G ) = X
et sur les (μ
, ω ¯
G ) tels que (μ
, ω ¯
G ) → (μ, ω ¯
G ), à condition d’affecter les termes
d’un coefficient | Fib(p ˜
G (μ
, ω ¯
G ))|
−1 . Ce nombre d’éléments se calcule aisément à
l’aide de 1.1(4). Notons Fix
G
(μ
, ω ¯
G ) le groupe des w ∈ W
G
tels que wμ
= μ
,
w(Σ + (μ
)) = Σ + (μ
) et wω ¯
G (σ)σ G ∗ (w)
−1 = ω ¯
G (σ) pour tout σ ∈ Γ F . Alors
(4)
| Fib(p ˜
G (μ
, ω ¯
G ))| = |W
G
||W
G
(μ
)|
−1
| Fix
G
(μ
, ω ¯
G )|
−1 .
On obtient
X
∈Stab(G
(F ));
X
→X
transfert(SA
G
(V, X
)) =
(μ,ω ¯
G )∈Stab( ˜
G(F )),
p ˜
G (μ,ω ¯
G )=X
(μ
,ω ¯
G )∈Stab( ˜
G
(F )),
(μ
,ω ¯
G ) →(μ,ω ¯
G )
|W
G
|
−1
|W
G
(μ
)|| Fix
G
(μ
, ω ¯
G )|
transfert(SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G ))).
Cela conduit à l’égalité
A
˜
G,E (V, X , ω) = |W
θ
|
−1
G ∈E ˆ
T (G,a,V )
(μ,ω ¯
G )∈Stab( ˜
G(F )),
p ˜
G (μ,ω ¯
G )=X
(μ
,ω ¯
G )∈Stab( ˜
G
(F )),
(μ
,ω ¯
G ) →(μ,ω ¯
G )
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G ) transfert(SA
G
(V, p ˜
G (μ
, ω ¯
G ))),
où
(5)
i( ˜
G, ˜
G
, μ
, ω ¯
G ) = i( ˜
G, ˜
G
)| Out(G
)||W
G
(μ
)|| Fix
G
(μ
, ω ¯
G )|.