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Chapitre VII. Descente globale
On pose
A
˜
G,E (V, X , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
X
∈Stab( ˜
G
(F ));
X
→X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)).
Il s’agit de démontrer l’égalité
A
˜
G (V, X , ω) = A
˜
G,E (V, X , ω).
On fixe une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G et on définit l’automorphisme ˆ
θ ainsi que l’action galoisienne relativement à cette paire,
cf. [I] 1.2. Notons E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) l’ensemble des données endoscopiques de (G, ˜
G, a)
qui sont de la forme G
= (G
, G
, s ˆ
θ) avec s ∈ ˆ
T et qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V . Pour deux données G
1 = (G
1 , G
1 , s 1 ˆ
θ) et
G
2 = (G
2 , G
2 , s 2 ˆ
θ) dans cet ensemble, disons qu’elles sont ˆ
T -équivalentes s’il existe
x ∈ ˆ
T tel que xG
1 x
−1 = G
2 et xs 1 ˆ
θ(x)
−1
∈ s 2 Z( ˆ
G). Fixons un ensemble de représentants E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) des classes de ˆ
T -équivalence dans E ˆ
T ( ˜
G, a, V ). Toute donnée
endoscopique elliptique, relevante et non ramifiée hors de V est équivalente à une
donnée appartenant à E ˆ
T ( ˜
G, a, V ). Il y a donc une application surjective
E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) → E( ˜
G, a, V ).
Soit G
= (G
, G
, s ˆ
θ) ∈ E ˆ
T ( ˜
G, a, V ). La fibre de cette application au-dessus de
l’image de G
est formé des (G
1 , G
1 , s 1 ˆ
θ), à ˆ
T -équivalence près, pour lesquels il
existe x ∈ ˆ
G de sorte que xG
x
−1 = G
1 et xs ˆ
θ(x)
−1
∈ s 1 Z( ˆ
G). Puisque ˆ
G et
ˆ
G
1 contiennent ˆ
T
ˆ
θ,0 , on peut supposer que x normalise ˆ
T
ˆ
θ,0 , donc aussi ˆ
T . La
condition xs ˆ
θ(x)
−1
∈ s 1 Z( ˆ
G) implique alors que l’image de x dans W est fixe par
ˆ
θ. Inversement, un élément x ∈ Norm ˆ
G ( ˆ
T ) dont l’image dans W est fixe par ˆ
θ
donne naissance à une donnée (G
1 , G
1 , s 1 ˆ
θ). Cette donnée est ˆ
T -équivalente à G
si et seulement si x ∈ ˆ
T (Aut(G
) ∩ Norm ˆ
G ( ˆ
T )). On a une suite exacte
1 → W
G
→ ˆ
T \ ˆ
T (Aut(G
) ∩ Norm ˆ
G ( ˆ
T )) → Out(G
) → 1
Ainsi la fibre de l’application précédente au-dessus de l’image de G
a pour nombre
d’éléments |W
θ
|| Out(G
)|
−1
|W
G
|
−1 . On peut donc récrire
A
˜
G,E (V, X , ω) = |W
θ
|
−1
G ∈E ˆ
T (G,a,V )
| Out(G
)||W
G
|
i( ˜
G, ˜
G
)
X ∈Stab(G (F ));X →X
transfert(SA
G
(V, X
)).
Chapitre VII. Descente globale
On pose
A
˜
G,E (V, X , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
X
∈Stab( ˜
G
(F ));
X
→X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)).
Il s’agit de démontrer l’égalité
A
˜
G (V, X , ω) = A
˜
G,E (V, X , ω).
On fixe une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G et on définit l’automorphisme ˆ
θ ainsi que l’action galoisienne relativement à cette paire,
cf. [I] 1.2. Notons E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) l’ensemble des données endoscopiques de (G, ˜
G, a)
qui sont de la forme G
= (G
, G
, s ˆ
θ) avec s ∈ ˆ
T et qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V . Pour deux données G
1 = (G
1 , G
1 , s 1 ˆ
θ) et
G
2 = (G
2 , G
2 , s 2 ˆ
θ) dans cet ensemble, disons qu’elles sont ˆ
T -équivalentes s’il existe
x ∈ ˆ
T tel que xG
1 x
−1 = G
2 et xs 1 ˆ
θ(x)
−1
∈ s 2 Z( ˆ
G). Fixons un ensemble de représentants E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) des classes de ˆ
T -équivalence dans E ˆ
T ( ˜
G, a, V ). Toute donnée
endoscopique elliptique, relevante et non ramifiée hors de V est équivalente à une
donnée appartenant à E ˆ
T ( ˜
G, a, V ). Il y a donc une application surjective
E ˆ
T ( ˜
G, a, V ) → E( ˜
G, a, V ).
Soit G
= (G
, G
, s ˆ
θ) ∈ E ˆ
T ( ˜
G, a, V ). La fibre de cette application au-dessus de
l’image de G
est formé des (G
1 , G
1 , s 1 ˆ
θ), à ˆ
T -équivalence près, pour lesquels il
existe x ∈ ˆ
G de sorte que xG
x
−1 = G
1 et xs ˆ
θ(x)
−1
∈ s 1 Z( ˆ
G). Puisque ˆ
G et
ˆ
G
1 contiennent ˆ
T
ˆ
θ,0 , on peut supposer que x normalise ˆ
T
ˆ
θ,0 , donc aussi ˆ
T . La
condition xs ˆ
θ(x)
−1
∈ s 1 Z( ˆ
G) implique alors que l’image de x dans W est fixe par
ˆ
θ. Inversement, un élément x ∈ Norm ˆ
G ( ˆ
T ) dont l’image dans W est fixe par ˆ
θ
donne naissance à une donnée (G
1 , G
1 , s 1 ˆ
θ). Cette donnée est ˆ
T -équivalente à G
si et seulement si x ∈ ˆ
T (Aut(G
) ∩ Norm ˆ
G ( ˆ
T )). On a une suite exacte
1 → W
G
→ ˆ
T \ ˆ
T (Aut(G
) ∩ Norm ˆ
G ( ˆ
T )) → Out(G
) → 1
Ainsi la fibre de l’application précédente au-dessus de l’image de G
a pour nombre
d’éléments |W
θ
|| Out(G
)|
−1
|W
G
|
−1 . On peut donc récrire
A
˜
G,E (V, X , ω) = |W
θ
|
−1
G ∈E ˆ
T (G,a,V )
| Out(G
)||W
G
|
i( ˜
G, ˜
G
)
X ∈Stab(G (F ));X →X
transfert(SA
G
(V, X
)).