VII.5. Descente
811
C’est-à-dire qu’elle vaut S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f [K
V ]) si ω est trivial sur G(F
V
S )
et 0 sinon. Le caractère ω est automorphe et, parce que G
est non ramifié hors de
V , il est trivial sur K
V . Choisissons S tel que G(A F ) = G(F )(G(F S ) × K
S ). Parce
que l’on a supposé que ω était trivial sur G(F V ), la condition que ce caractère
soit trivial sur G(F
V
S ) équivaut alors à ce qu’il soit trivial sur tout G(A F ). C’est
la condition 4.5(2), dont on a vu qu’elle équivalait à l’appartenance de G
à
E G (G , V ). Cela démontre (3).
On fixe S assez grand. Grâce à (3), l’expression (2) se récrit
τ
(G )
−1
|U
V
S |
−1
u∈U V
S
G
∈E(G,V )
i(G , G
)S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [
u K
V ]).
La proposition 4.3 nous dit que le premier terme du membre de droite de (1) est
égal à
τ
(G )
−1
|U
V
S |
−1
u∈U V
S
I
G (A
G
unip (V,
u K
V
), f ).
Ainsi le membre de droite de la formule (1) est le produit de τ
(G )
−1
|U
V
S |
−1 et
de la somme en u ∈ U
V
S de l’expression
I
G (A
G
unip (V,
u K
V
), f ) −
G
∈E(G,V )
i(G , G
)S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [
u K
V ]).
Celle-ci est par définition égale à I
G (SA
G
unip (V ), f ). La référence aux compacts
disparaît puisqu’on sait que la distribution SA
G
unip (V ) n’en dépend pas. Ce terme
étant indépendant de u, l’égalité (1) devient simplement
τ
(G)I
G (SA
G
unip (V ), f) = τ
(G )
−1 I
G (SA
G
unip (V ), f ).
Dire que cette égalité est vérifiée pour tout f équivaut à l’assertion de l’énoncé.
VII.5 Descente
VII.5.1 Une première transformation
On commence la preuve du théorème 3.3. Le triplet (G, ˜
G, a) est quelconque. On
fixe X ∈ Stab( ˜
G(F )) qui n’appartient pas à Stab excep ( ˜
G(F )). On fixe un ensemble
fini V de places de F contenant S(X ). En vertu du lemme 3.7, on impose de plus
(1) V contient S(X , ˜
K) ;
(2) X est elliptique ;
(3) pour toute place v ∈ Val(F ), l’image de X dans Stab( ˜
G(F v )) appartient à
l’image de l’application χ
˜
Gv ;
(4) les restrictions de ω à Z(G; A F )
θ et Z( ¯
G; A F ) sont triviales.
811
C’est-à-dire qu’elle vaut S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f [K
V ]) si ω est trivial sur G(F
V
S )
et 0 sinon. Le caractère ω est automorphe et, parce que G
est non ramifié hors de
V , il est trivial sur K
V . Choisissons S tel que G(A F ) = G(F )(G(F S ) × K
S ). Parce
que l’on a supposé que ω était trivial sur G(F V ), la condition que ce caractère
soit trivial sur G(F
V
S ) équivaut alors à ce qu’il soit trivial sur tout G(A F ). C’est
la condition 4.5(2), dont on a vu qu’elle équivalait à l’appartenance de G
à
E G (G , V ). Cela démontre (3).
On fixe S assez grand. Grâce à (3), l’expression (2) se récrit
τ
(G )
−1
|U
V
S |
−1
u∈U V
S
G
∈E(G,V )
i(G , G
)S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [
u K
V ]).
La proposition 4.3 nous dit que le premier terme du membre de droite de (1) est
égal à
τ
(G )
−1
|U
V
S |
−1
u∈U V
S
I
G (A
G
unip (V,
u K
V
), f ).
Ainsi le membre de droite de la formule (1) est le produit de τ
(G )
−1
|U
V
S |
−1 et
de la somme en u ∈ U
V
S de l’expression
I
G (A
G
unip (V,
u K
V
), f ) −
G
∈E(G,V )
i(G , G
)S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [
u K
V ]).
Celle-ci est par définition égale à I
G (SA
G
unip (V ), f ). La référence aux compacts
disparaît puisqu’on sait que la distribution SA
G
unip (V ) n’en dépend pas. Ce terme
étant indépendant de u, l’égalité (1) devient simplement
τ
(G)I
G (SA
G
unip (V ), f) = τ
(G )
−1 I
G (SA
G
unip (V ), f ).
Dire que cette égalité est vérifiée pour tout f équivaut à l’assertion de l’énoncé.
VII.5 Descente
VII.5.1 Une première transformation
On commence la preuve du théorème 3.3. Le triplet (G, ˜
G, a) est quelconque. On
fixe X ∈ Stab( ˜
G(F )) qui n’appartient pas à Stab excep ( ˜
G(F )). On fixe un ensemble
fini V de places de F contenant S(X ). En vertu du lemme 3.7, on impose de plus
(1) V contient S(X , ˜
K) ;
(2) X est elliptique ;
(3) pour toute place v ∈ Val(F ), l’image de X dans Stab( ˜
G(F v )) appartient à
l’image de l’application χ
˜
Gv ;
(4) les restrictions de ω à Z(G; A F )
θ et Z( ¯
G; A F ) sont triviales.