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Chapitre VII. Descente globale
D’où
S
G
1
λ1 (SA
G
1
unip,λ1 (V ), f 1 ) = τ
(G
1 )τ
(G
1,, )
−1 S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 ),
où f ,1 = ι G
,1 ,G
1
(f 1 ). En utilisant ces formules et 4.5(4), on transforme la somme
en G
de l’expression (1) en
(2)
G
∈EG(G,V )
τ
(G )
−1 i(G , G
)S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 ).
Posons f = ι G,G (f ). Remarquons que, d’après 4.5(3), les fonctions f ,1
intervenant peuvent aussi se définir comme le transfert de f à G
,1 (F V ). Le terme
que l’on somme ne fait alors plus référence à G. En particulier, on peut le définir
pour toute donnée G
∈ E(G , V ) et pas seulement pour celles qui proviennent
d’une donnée endoscopique de G. D’autre part, les facteurs de transfert utilisés
pour définir ces fonctions f ,1 dépendent des compacts K v pour v ∈ V . Notons-les
plus précisément f ,1 [K
V ]. On sait par contre que les distributions SA
G
,1
unip,λ1 (V ) ne
dépendent pas des compacts. Soit S un ensemble fini de places de F contenant V .
Soit U
V
S un ensemble de représentants du quotient q (G (F
V
S ))\G(F
V
S ). Pour u ∈
U
V
S , on définit pour v ∈ S−V le groupe
u K v = uK v u
−1 , qui se relève en le compact
u K ,v = uK ,v u
−1 de G (F v ). On pose
u K
V = (
횾
v∈S−V
u K v )(
횾
v ∈S K v ). Soit
G
∈ E(G , V ). Montrons que
(3) si S est assez grand, on a l’égalité
|U
V
S |
−1
u∈U V
S
S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [
u K
V ])
=
S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [K
V ]), si G
∈ E G (G , V ),
0,
sinon.
En 4.5, on a rappelé l’existence d’un caractère ω de G AD (A F ) associé à
G
. La fonction f est par construction invariante par l’action de G(F V ). Il résulte de cela et de la définition du caractère ω que tous les transferts f ,1 [
u K
V ]
sont nuls sauf si ω est trivial sur G(F V ). Si cette condition n’est pas vérifiée,
la relation (2) est donc évidente. Supposons que ω est trivial sur G(F V ). Pour
v ∈ S − V , notons
u Δ ,1,v le facteur de transfert local associé à
u K ,v . Ce n’est
autre que (δ ,1 , γ ) → Δ ,v (δ ,1 , u
−1 γ u), où Δ ,v est associé à K ,v . On a simplement Δ ,v (δ ,1 , u
−1 γ u) = ω ,v (u)Δ ,v (δ ,1 , γ ). Donc
u Δ ,1,v = ω ,v (u)Δ ,1,v .
Ces facteurs locaux en v ∈ S − V sont les seules données qui changent quand on
change de compacts. En se rappelant la définition des facteurs de transfert canoniques, on voit alors que f ,1 [
u K
V ] = ω (u)
−1 f ,1 [K
V ]. La somme de (3) vaut
donc
S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [K
V ])|U
V
S |
−1
u∈U V
S
ω (u)
−1 .
Chapitre VII. Descente globale
D’où
S
G
1
λ1 (SA
G
1
unip,λ1 (V ), f 1 ) = τ
(G
1 )τ
(G
1,, )
−1 S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 ),
où f ,1 = ι G
,1 ,G
1
(f 1 ). En utilisant ces formules et 4.5(4), on transforme la somme
en G
de l’expression (1) en
(2)
G
∈EG(G,V )
τ
(G )
−1 i(G , G
)S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 ).
Posons f = ι G,G (f ). Remarquons que, d’après 4.5(3), les fonctions f ,1
intervenant peuvent aussi se définir comme le transfert de f à G
,1 (F V ). Le terme
que l’on somme ne fait alors plus référence à G. En particulier, on peut le définir
pour toute donnée G
∈ E(G , V ) et pas seulement pour celles qui proviennent
d’une donnée endoscopique de G. D’autre part, les facteurs de transfert utilisés
pour définir ces fonctions f ,1 dépendent des compacts K v pour v ∈ V . Notons-les
plus précisément f ,1 [K
V ]. On sait par contre que les distributions SA
G
,1
unip,λ1 (V ) ne
dépendent pas des compacts. Soit S un ensemble fini de places de F contenant V .
Soit U
V
S un ensemble de représentants du quotient q (G (F
V
S ))\G(F
V
S ). Pour u ∈
U
V
S , on définit pour v ∈ S−V le groupe
u K v = uK v u
−1 , qui se relève en le compact
u K ,v = uK ,v u
−1 de G (F v ). On pose
u K
V = (
횾
v∈S−V
u K v )(
횾
v ∈S K v ). Soit
G
∈ E(G , V ). Montrons que
(3) si S est assez grand, on a l’égalité
|U
V
S |
−1
u∈U V
S
S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [
u K
V ])
=
S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [K
V ]), si G
∈ E G (G , V ),
0,
sinon.
En 4.5, on a rappelé l’existence d’un caractère ω de G AD (A F ) associé à
G
. La fonction f est par construction invariante par l’action de G(F V ). Il résulte de cela et de la définition du caractère ω que tous les transferts f ,1 [
u K
V ]
sont nuls sauf si ω est trivial sur G(F V ). Si cette condition n’est pas vérifiée,
la relation (2) est donc évidente. Supposons que ω est trivial sur G(F V ). Pour
v ∈ S − V , notons
u Δ ,1,v le facteur de transfert local associé à
u K ,v . Ce n’est
autre que (δ ,1 , γ ) → Δ ,v (δ ,1 , u
−1 γ u), où Δ ,v est associé à K ,v . On a simplement Δ ,v (δ ,1 , u
−1 γ u) = ω ,v (u)Δ ,v (δ ,1 , γ ). Donc
u Δ ,1,v = ω ,v (u)Δ ,1,v .
Ces facteurs locaux en v ∈ S − V sont les seules données qui changent quand on
change de compacts. En se rappelant la définition des facteurs de transfert canoniques, on voit alors que f ,1 [
u K
V ] = ω (u)
−1 f ,1 [K
V ]. La somme de (3) vaut
donc
S
G
,1
λ1 (SA
G
,1
unip,λ1 (V ), f ,1 [K
V ])|U
V
S |
−1
u∈U V
S
ω (u)
−1 .