VII.4. Distributions à support unipotent
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Preuve. Rappelons (cf. [VI] 5.1) que, dans notre situation quasi-déployée et sans
torsion, on a simplement
i(G, G
) = | Out(G
)|
−1 τ (G)τ (G
)
−1 .
D’autre part, le lemme 4.2 nous dit que τ
(G
1 ) = τ
(G
)τ
(C 1 ). Le membre de
gauche de (4) est donc égal à
| Out(G
)|
−1 covol(A G,Z ) covol(A G ,Z )
−1 τ
(C 1 ).
Parce que G
est elliptique, on a les isomorphismes
X
∗ (G)
ΓF
X ∗ (Z( ˆ
G)
ΓF ,0 ) = X ∗ (Z( ˆ
G
)
ΓF ,0 ) X
∗ (G
)
ΓF .
Il en résulte que covol(A G,Z ) = covol(A G ,Z ). Donc le membre de gauche de (4) est
égal à | Out(G
)|
−1 τ
(C 1 ). On a une formule analogue pour le membre de droite.
On vérifie immédiatement que les groupes Out(G
) et Out(G
) sont isomorphes.
L’égalité (4) s’ensuit.
VII.4.6 Coefficients stables et revêtement
On suppose encore G quasi-déployé et a = 1.
Proposition. La distribution τ
(G)
−1 SA
G
unip (V ) est l’image par l’homomorphisme
ι
∗
G,G de τ
(G )
−1 SA
G
unip (V ).
Preuve. Soit f ∈ C
∞
c (G(F V )). On a par définition
(1)
τ
(G)
−1 I
G (SA
G
unip (V ), f) = τ
(G)
−1 I
G (A
G
unip (V ), f)
−
G ∈E(G,V ),G =G
τ
(G)
−1 i(G, G
)S
G
(SA
G
unip (V ), f
G
).
Fixons G
= (G
, G
, s) ∈ E(G, V ) avec G
= G. Introduisons des données auxiliaires pour G
, non ramifiées hors de V . Introduisons aussi la donnée G
comme
dans le paragraphe précédent, dont on utilise les notations. On identifie f
G
à un
élément f 1 ∈ SI λ1 (G
1 (F V )). On a
S
G
(SA
G
unip (V ), f
G
) = S
G
1
λ1 (SA
G
1
unip,λ1 (V ), f 1 ).
On peut appliquer la proposition par récurrence à G
puisque G
= G. On travaille
ici avec des distributions qui se transforment selon le caractère λ 1 de C 1 (F V ) mais
la dernière égalité du paragraphe 1.11 permet d’adapter la proposition à ce cas.
On a donc
SA
G
1
unip,λ1 (V ) = τ
(G
1 )τ
(G
1,, )
−1 ι
∗
G
,1 ,G
1
(SA
G
,1
unip,λ1 (V )).