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Chapitre VII. Descente globale
Considérons une donnée G
= (G
, G
, s) et la donnée G
= (G
, G
, s )
construite ci-dessus. Dualement à la suite (1), on a la suite exacte
1 → Ξ → Z × G
q
→ G
→ 1.
Les groupes G
et G
sont donc dans la même situation que les groupes G et G .
Fixons des données auxiliaires G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 pour G
. Notons G
,1 le produit fibré
de G
1 et G
au-dessus de G
. Le groupe dual ˆ
G
,1 s’identifie à ˆ
G
1 / ˆ
ξ 1 ( ˆ
Z ), où ˆ
Z
est l’image réciproque de ˆ
Z dans ˆ
G. Puisque G
est aussi isomorphe à G
/ ˆ
Z , le
plongement ˆ
ξ 1 se quotiente en un plongement ˆ
ξ ,1 : G
→
L G
,1 . Les données G
,1 ,
C 1 , ˆ
ξ ,1 sont des données auxiliaires pour G
. Supposons les données endoscopiques
non ramifiées hors de V , ainsi que les données auxiliaires pour G
. Alors les données
auxiliaires pour G
sont elles-aussi non ramifiées hors de V . On a vu en [VI] 3.6
que le choix des groupes K v pour v ∈ V permettait de définir un facteur de
transfert canonique Δ 1,V sur G
1 (F V ) × G(F V ) (notons que, dans le cas non tordu,
l’hypothèse Hyp de cette référence est toujours vérifiée). On a relevé les K v en
des sous-groupes K ,v . Ils déterminent de même un facteur de transfert canonique
Δ ,1,V sur G
,1 (F V )×G (F V ). On vérifie que si (δ ,1 , γ ) ∈ G
,1 (F V )×G (F V ) est
un couple d’éléments semi-simples G -fortement réguliers qui se correspondent, on
a l’égalité
Δ ,1,V (δ ,1 , γ ) = Δ 1,V (δ 1 , γ),
où δ 1 et γ sont les projections naturelles de δ ,1 et γ .
Remarque. Il se peut que les éléments δ 1 et γ se correspondent alors que δ ,1 et γ
ne se correspondent pas. L’égalité ci-dessus devient fausse, le membre de gauche
étant nul alors que celui de droite ne l’est pas.
On peut adapter les constructions de 4.3 et construire un homomorphisme
ι G
,1 ,G
1
: SI λ1 (G
1 (F V )) → SI λ1 (G
,1 (F V ))
bien défini sur les fonctions dont le support dans G
(F V ) est voisin de l’origine.
Le diagramme suivant est commutatif
(3)
I(G(F V ))
transfert
→
SI λ1 (G
1 (F V ))
ι G,G ↓
↓ ι G
,1 ,G
1
I(G (F V ))
transfert
→
SI λ1 (G
,1 (F V )) .
Supposons que nos données endoscopiques soient elliptiques. Les espaces A G et
A G sont isomorphes et, conformément aux conventions de [VI], on suppose que
l’isomorphisme préserve les mesures. De même pour les espaces A G et A G
. On
fixe une mesure sur A C1 . En utilisant les suites exactes habituelles, des mesures
déjà fixées se déduisent des mesures sur A G
1
et A G
,1
. Avec ces normalisations,
montrons que l’on a l’égalité
(4)
i(G, G
)τ
(G)
−1 τ
(G
1 ) = i(G , G
)τ
(G )
−1 τ
(G
,1 ).
Chapitre VII. Descente globale
Considérons une donnée G
= (G
, G
, s) et la donnée G
= (G
, G
, s )
construite ci-dessus. Dualement à la suite (1), on a la suite exacte
1 → Ξ → Z × G
q
→ G
→ 1.
Les groupes G
et G
sont donc dans la même situation que les groupes G et G .
Fixons des données auxiliaires G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 pour G
. Notons G
,1 le produit fibré
de G
1 et G
au-dessus de G
. Le groupe dual ˆ
G
,1 s’identifie à ˆ
G
1 / ˆ
ξ 1 ( ˆ
Z ), où ˆ
Z
est l’image réciproque de ˆ
Z dans ˆ
G. Puisque G
est aussi isomorphe à G
/ ˆ
Z , le
plongement ˆ
ξ 1 se quotiente en un plongement ˆ
ξ ,1 : G
→
L G
,1 . Les données G
,1 ,
C 1 , ˆ
ξ ,1 sont des données auxiliaires pour G
. Supposons les données endoscopiques
non ramifiées hors de V , ainsi que les données auxiliaires pour G
. Alors les données
auxiliaires pour G
sont elles-aussi non ramifiées hors de V . On a vu en [VI] 3.6
que le choix des groupes K v pour v ∈ V permettait de définir un facteur de
transfert canonique Δ 1,V sur G
1 (F V ) × G(F V ) (notons que, dans le cas non tordu,
l’hypothèse Hyp de cette référence est toujours vérifiée). On a relevé les K v en
des sous-groupes K ,v . Ils déterminent de même un facteur de transfert canonique
Δ ,1,V sur G
,1 (F V )×G (F V ). On vérifie que si (δ ,1 , γ ) ∈ G
,1 (F V )×G (F V ) est
un couple d’éléments semi-simples G -fortement réguliers qui se correspondent, on
a l’égalité
Δ ,1,V (δ ,1 , γ ) = Δ 1,V (δ 1 , γ),
où δ 1 et γ sont les projections naturelles de δ ,1 et γ .
Remarque. Il se peut que les éléments δ 1 et γ se correspondent alors que δ ,1 et γ
ne se correspondent pas. L’égalité ci-dessus devient fausse, le membre de gauche
étant nul alors que celui de droite ne l’est pas.
On peut adapter les constructions de 4.3 et construire un homomorphisme
ι G
,1 ,G
1
: SI λ1 (G
1 (F V )) → SI λ1 (G
,1 (F V ))
bien défini sur les fonctions dont le support dans G
(F V ) est voisin de l’origine.
Le diagramme suivant est commutatif
(3)
I(G(F V ))
transfert
→
SI λ1 (G
1 (F V ))
ι G,G ↓
↓ ι G
,1 ,G
1
I(G (F V ))
transfert
→
SI λ1 (G
,1 (F V )) .
Supposons que nos données endoscopiques soient elliptiques. Les espaces A G et
A G sont isomorphes et, conformément aux conventions de [VI], on suppose que
l’isomorphisme préserve les mesures. De même pour les espaces A G et A G
. On
fixe une mesure sur A C1 . En utilisant les suites exactes habituelles, des mesures
déjà fixées se déduisent des mesures sur A G
1
et A G
,1
. Avec ces normalisations,
montrons que l’on a l’égalité
(4)
i(G, G
)τ
(G)
−1 τ
(G
1 ) = i(G , G
)τ
(G )
−1 τ
(G
,1 ).