VII.4. Distributions à support unipotent
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les fonctions à support assez voisin de l’origine. Dualement, on a un homomorphisme D
st
g´ eom (G (F V )) → D
st
g´ eom (G(F V )), défini sur les distributions à support
voisin de l’origine. Il se restreint en un homomorphisme
ι
∗
G,G : D
st
unip (G (F V )) → D
st
unip (G(F V )).
C’est aussi la restriction à D
st
unip (G (F V )) de l’homomorphisme ι
∗
G,G défini en 4.3.
Dualement à la suite exacte
1 → Ξ → Z × G → G → 1,
on a une suite exacte
1 → ˆ
Ξ → ˆ
G → ˆ
Z × ˆ
G → 1,
où ˆ
Ξ est un sous-groupe fini central de ˆ
G. Soit G
= (G
, G
, s) une donnée
endoscopique de G. L’élément s ∈ ˆ
G s’envoie sur un élément (z, s ) ∈ ˆ
Z × ˆ
G . En
notant ˆ
G
la composante neutre de Z G (s ), on a la suite exacte
(1)
1 → ˆ
Ξ → ˆ
G
→ ˆ
Z × ˆ
G
→ 1.
Le groupe G
/ ˆ
Ξ contient ˆ
Z donc est de la forme ˆ
Z × G
, où G
est un sous-groupe
de
L G . Ce groupe définit une action galoisienne sur ˆ
G
. On introduit un groupe
quasi-déployé G
sur F dont ˆ
G
soit le groupe dual. Alors G
= (G
, G
, s ) est
une donnée endoscopique de G . En [I] 2.7, on a associé à une telle donnée un
caractère de G ,AD (A F ) noté alors ω et que nous noterons ici ω .
Remarque. Dans cette référence, le corps de base était local mais la construction
vaut aussi bien sur notre corps de nombres.
Rappelons que G ,AD = G AD . Pour la donnée que l’on vient de construire, on a
(2) la restriction de ω à l’image de G(A F ) dans G AD (A F ) est triviale.
Inversement, soit G
= (G
, G
, s ) une donnée endoscopique de G . On fixe
une image réciproque s ∈ ˆ
G de (1, s ) ∈ ˆ
Z × ˆ
G . On note G
l’image réciproque de
ˆ
Z ×G
dans
L G. Ce groupe agit sur ˆ
G s et munit ce groupe d’une action galoisienne.
On introduit un groupe G
quasi-déployé sur F dont ˆ
G s est le groupe dual. Le
triplet (G
, G
, s) est une donnée endoscopique pour G muni d’un certain cocycle
a. C’est une donnée endoscopique pour G, c’est-à-dire ce cocycle est trivial, si et
seulement si la condition (2) est vérifiée.
Ces constructions définissent des bijections inverses l’une de l’autre entre les
classes d’équivalence de données endoscopiques pour G et les classes d’équivalence
de données endoscopiques pour G vérifiant (2). Ces bijections préservent l’ellipticité et la non-ramification hors de V . On a fixé des ensembles de représentants
E(G, V ) et E(G , V ) des classes d’équivalence de données endoscopiques pour G
et G qui sont elliptiques et non ramifiées hors de V . On note E G (G , V ) le sousensemble des éléments de E(G , V ) qui vérifient la condition (2). Les ensembles
E(G, V ) et E G (G , V ) sont en bijection.
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les fonctions à support assez voisin de l’origine. Dualement, on a un homomorphisme D
st
g´ eom (G (F V )) → D
st
g´ eom (G(F V )), défini sur les distributions à support
voisin de l’origine. Il se restreint en un homomorphisme
ι
∗
G,G : D
st
unip (G (F V )) → D
st
unip (G(F V )).
C’est aussi la restriction à D
st
unip (G (F V )) de l’homomorphisme ι
∗
G,G défini en 4.3.
Dualement à la suite exacte
1 → Ξ → Z × G → G → 1,
on a une suite exacte
1 → ˆ
Ξ → ˆ
G → ˆ
Z × ˆ
G → 1,
où ˆ
Ξ est un sous-groupe fini central de ˆ
G. Soit G
= (G
, G
, s) une donnée
endoscopique de G. L’élément s ∈ ˆ
G s’envoie sur un élément (z, s ) ∈ ˆ
Z × ˆ
G . En
notant ˆ
G
la composante neutre de Z G (s ), on a la suite exacte
(1)
1 → ˆ
Ξ → ˆ
G
→ ˆ
Z × ˆ
G
→ 1.
Le groupe G
/ ˆ
Ξ contient ˆ
Z donc est de la forme ˆ
Z × G
, où G
est un sous-groupe
de
L G . Ce groupe définit une action galoisienne sur ˆ
G
. On introduit un groupe
quasi-déployé G
sur F dont ˆ
G
soit le groupe dual. Alors G
= (G
, G
, s ) est
une donnée endoscopique de G . En [I] 2.7, on a associé à une telle donnée un
caractère de G ,AD (A F ) noté alors ω et que nous noterons ici ω .
Remarque. Dans cette référence, le corps de base était local mais la construction
vaut aussi bien sur notre corps de nombres.
Rappelons que G ,AD = G AD . Pour la donnée que l’on vient de construire, on a
(2) la restriction de ω à l’image de G(A F ) dans G AD (A F ) est triviale.
Inversement, soit G
= (G
, G
, s ) une donnée endoscopique de G . On fixe
une image réciproque s ∈ ˆ
G de (1, s ) ∈ ˆ
Z × ˆ
G . On note G
l’image réciproque de
ˆ
Z ×G
dans
L G. Ce groupe agit sur ˆ
G s et munit ce groupe d’une action galoisienne.
On introduit un groupe G
quasi-déployé sur F dont ˆ
G s est le groupe dual. Le
triplet (G
, G
, s) est une donnée endoscopique pour G muni d’un certain cocycle
a. C’est une donnée endoscopique pour G, c’est-à-dire ce cocycle est trivial, si et
seulement si la condition (2) est vérifiée.
Ces constructions définissent des bijections inverses l’une de l’autre entre les
classes d’équivalence de données endoscopiques pour G et les classes d’équivalence
de données endoscopiques pour G vérifiant (2). Ces bijections préservent l’ellipticité et la non-ramification hors de V . On a fixé des ensembles de représentants
E(G, V ) et E(G , V ) des classes d’équivalence de données endoscopiques pour G
et G qui sont elliptiques et non ramifiées hors de V . On note E G (G , V ) le sousensemble des éléments de E(G , V ) qui vérifient la condition (2). Les ensembles
E(G, V ) et E G (G , V ) sont en bijection.