806
Chapitre VII. Descente globale
obtient alors un diagramme commutatif
1
1
1
↓
↓
↓
1 →
ˆ
B G
→
ˆ
B M
→
ˆ
B
G
M
→ 1
↓
↓
↓
1 → Z( ˆ
G)
ΓF ,0
→ Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G)
ΓF
→ π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G)
ΓF ) → 1
↓
↓
↓
1 → Z( ˆ
G )
ΓF ,0
→ Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G )
ΓF
→ π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G )
ΓF ) → 1
↓
↓
↓
1
1
1
où ˆ
B
G
M est défini comme le noyau de la dernière suite verticale. Les lignes verticales
sont exactes. Les deux dernières lignes horizontales aussi. Donc la première ligne
horizontale aussi.
Revenons à la définition de B G , qui est le conoyau de l’homomorphisme
A G ,Z → A G,Z . Par dualité, |B G | est aussi le nombre d’éléments du conoyau de
l’homomorphisme X
∗ (G)
ΓF
→ X
∗ (G )
ΓF . En vertu de l’isomorphisme X
∗ (G)
X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) et de l’isomorphisme analogue pour G , on voit que B G a même nombre
d’éléments que ˆ
B G . De même, B M a même nombre d’éléments que ˆ
B M . D’après
le diagramme ci-dessus, on obtient
|B G |
−1
|B M | = | ˆ
B
G
M | = |π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G )
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G)
ΓF )|.
On a la suite exacte
1 → π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G)
ΓF ) → π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF ) → π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ) → 1.
D’où l’égalité
|B G ||B M |
−1 = |π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G )
ΓF )||π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF )||π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )|
−1 .
En insérant cette égalité dans (11) et en utilisant (9) ainsi que la relation analogue
pour G , on obtient (8). Cela achève la démonstration.
VII.4.5 Données endoscopiques et revêtement
On a étudié cette question dans le cas local en [III] 3.6 et 3.7 et en [V] 3.3. On se
contente ici de reprendre brièvement les constructions dans notre cadre global.
On suppose G quasi-déployé et a = 1. Comme on l’a vu en [III] 3.5, l’homomorphisme ι G,G : C
∞
c (Ω V ) → C
∞
c (Ω ,V ) de 4.3 se quotiente en un homomorphisme ι G,G : SI(Ω V ) → SI(Ω ,V ). Il est plus commode de noter cet homomorphisme ι G,G : SI(G(F V )) → SI(G (F V )), étant entendu qu’il n’est défini que sur