VII.4. Distributions à support unipotent
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dont les flèches sont injectives. Les flèches verticales sont de conoyaux finis. On en
déduit un diagramme d’isomorphismes
1 → A
G
M
→ A M → A G → 1
1 → A
G
M
→ A M → A G → 1
et un diagramme commutatif
1 → A
G
M,Z
→ A M,Z → A G,Z → 1
↑
↑
↑
1 → A
G
M ,Z → A M ,Z → A G ,Z → 1
↑
↑
↑
1
1
1 .
Les suites ci-dessus sont exactes. On les complète en notant B
G
M , B M et B G les
conoyaux des suites verticales. Ils sont finis et on a la suite exacte
1 → B
G
M → B M → B G → 1.
On a normalisé les mesures de sorte que l’isomorphisme A
G
M
→ A
G
M les conserve.
On en déduit
covol(A
G
M ,Z ) = covol(A
G
M,Z )|B
G
M |,
d’où aussi
(11)
covol(A
G
M ,Z ) = covol(A
G
M,Z )|B G |
−1
|B M |.
On sait que X
∗ (G) X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ). Dualement au diagramme (10), on a un diagramme commutatif
Z( ˆ
G)
ΓF ,0
→ Z( ˆ
M )
ΓF ,0
↓
↓
Z( ˆ
G )
ΓF ,0
→ Z( ˆ
M )
ΓF ,0 .
Les flèches horizontales sont injectives. Les flèches verticales sont surjectives. On
note leurs noyaux ˆ
B G et ˆ
B M . Remarquons que, puisque ˆ
G et ˆ
G ont même groupe
adjoint, l’image réciproque par la deuxième flèche verticale de Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩Z( ˆ
G )
ΓF
n’est autre que Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G)
ΓF . Remarquons aussi que le quotient
Z( ˆ
G)
ΓF ,0
\(Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G)
ΓF )
n’est autre que le groupe des composantes connexes π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G)
ΓF ). On