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Chapitre VII. Descente globale
ou encore
τ
(G)
−1 I
G (A
G
unip (V, ω), f V ) = τ
(G )
−1 I
G (ι
∗
G,G (A
G
unip;G,ω,S (V )), f V ).
Cela étant vrai pour tout f V ∈ C
∞
c (Ω V ), on en déduit
τ
(G)
−1 A
G
unip (V, ω) = τ
(G )
−1 ι
∗
G,G (A
G
unip;G,ω,S (V )),
ce qui prouve la proposition 4.3.
Il reste à prouver (7). Puisque G , resp. M , est le produit de Z et de G ,
resp. M , on a
τ
(G )
−1 τ
(M ) = τ
(G )
−1 τ
(M ).
On peut aussi bien démontrer l’égalité
(8)
τ
(G)
−1 τ
(M ) = τ
(G )
−1 τ
(M ).
Rappelons que l’on a identifié A G à Hom(X
∗ (G)
ΓF , R) et que l’on a défini le
réseau A G,Z = Hom(X
∗ (G)
ΓF , Z). On a une injection X
∗ (G)
ΓF
→ X
∗ (M )
ΓF .
Son conoyau est sans torsion. En effet, si on introduit un tore maximal T ⊂
M , ce conoyau est l’image de l’homomorphisme naturel X
∗ (M )
ΓF
→ X
∗ (T sc )
ΓF ,
où, comme toujours, T sc est l’image réciproque de T dans G SC . De l’injection
précédente se déduisent des homomorphismes A M → A G et A M,Z → A G,Z . Le
premier est trivialement surjectif. Le second est lui aussi surjectif, parce que le
conoyau de l’injection X
∗ (G)
ΓF
→ X
∗ (M )
ΓF est sans torsion. En notant A
G
M et
A
G
M,Z les noyaux de ces homomorphismes, on obtient une suite exacte
0 → A
G
M /A
G
M,Z → A M /A M,Z → A G /A G,Z → 0 .
Donc
covol(A M,Z )
−1 covol(A G,Z ) = covol(A
G
M,Z )
−1 .
En se rappelant la définition de 4.1, on obtient
τ
(G)
−1 τ
(M ) = τ (G)
−1 τ (M ) covol(A
G
M,Z )
−1 .
On a démontré en [VI] 6.1 l’égalité ker
1 (F, Z( ˆ
G)) = ker
1 (F, Z( ˆ
M )). L’égalité précédente se récrit donc
(9)
τ
(G)
−1 τ
(M ) = |π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
M )
ΓF )| covol(A
G
M,Z )
−1 .
On a bien sûr une relation analogue pour G et M . On a un diagramme commutatif
(10)
X
∗ (G)
ΓF
→ X
∗ (M )
ΓF
↓
↓
X
∗ (G )
ΓF
→ X
∗ (M )
ΓF