VII.4. Distributions à support unipotent
803
Supposons maintenant f = f V ⊗ 1 K V , pour f V ∈ C
∞
c (Ω V ). En posant U V =
v∈V U v et U
V
S =
v∈S−V U v , on a U S = U V × U
V
S . Pour u ∈ U S , que l’on écrit
u = u
u
, avec u
∈ U V et u
∈ U
V
S , on a (
u f ) G = (
u
f V ) G ⊗ 1u K V
, avec
des notations naturelles. Pour le membre de gauche de (4), on peut utiliser le
développement [VI] 2.2(1) relatif à K
V . Pour le terme indexé par u du membre
de droite, on utilise le même développement relatif à
u K
V
. On obtient l’égalité
(5)
M∈L(M0)
|W
M
||W
G
|
−1 X M = 0,
où
X M = τ
(G)
−1 J
G
M (A
M
unip (V, ω), f V ) − τ
(G )
−1
|U S |
−1
u∈US
ω(u)J
G
M (A
M
unip (V,
u
K
M,V
), (
u
f V ) G ,
u
K ,V ).
Avec la définition de 4.3, on récrit
X M = τ
(G)
−1 J
G
M (A
M
unip (V, ω), f V ) − τ
(G )
−1
|U V |
−1
u∈UV
ω(u)J
G
M (A
M
unip;M,ω,S (V ), (
u f V ) G ,
u K ,V ).
Soit M ∈ L(M 0 ). Les distributions et intégrales orbitales pondérées intervenant
dépendent de mesures sur A G , A M , A G et A M . L’homomorphisme q définit un
isomorphisme de A M /A G sur A M /A G . On peut supposer que cet isomorphisme
préserve les mesures. Pour tout γ ∈ D unip (M (F V )), on a alors l’égalité
(6)
J
G
M (ι
∗
M,M (γ), ω, f V ) = |U V |
−1
u∈UV
ω(u)J
G
M (γ, (
u f V ) G ,
u K ,V ).
En effet, on a vu l’égalité analogue dans le cas local en [III] 3.3. Pour obtenir
(5), on peut soit reprendre la preuve de ce cas local, soit utiliser les formules de
scindage habituelles. On laisse les détails au lecteur.
Pour M = G, on peut utiliser la proposition 4.3 par récurrence : pour γ =
τ
(M )
−1 A
M
unip;M,ω,S (V ), on a ι
∗
M,M (γ) = τ
(M )
−1 A
M
unip (V, ω) (notons que la
condition (1) imposée à S implique la même condition quand on remplace G par
M ). En utilisant (6), on transforme X M en
(τ
(G)
−1
− τ
(G )
−1 τ
(M )
−1 τ
(M ))J
G
M (A
M
unip (V, ω), f V ).
On montrera ci-dessous que
(7)
τ
(G)
−1 τ
(M ) = τ
(G )
−1 τ
(M ).
On obtient alors X M = 0 pour tout Levi M = G. L’égalité (5) entraîne alors
X G = 0. D’après les définitions, cela signifie que
τ
(G)
−1 I
G (A
G
unip (V, ω), f V ) = τ
(G )
−1 I
G (A
G
unip;G,ω,S (V ), ι G,G (f V )),
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Supposons maintenant f = f V ⊗ 1 K V , pour f V ∈ C
∞
c (Ω V ). En posant U V =
v∈V U v et U
V
S =
v∈S−V U v , on a U S = U V × U
V
S . Pour u ∈ U S , que l’on écrit
u = u
u
, avec u
∈ U V et u
∈ U
V
S , on a (
u f ) G = (
u
f V ) G ⊗ 1u K V
, avec
des notations naturelles. Pour le membre de gauche de (4), on peut utiliser le
développement [VI] 2.2(1) relatif à K
V . Pour le terme indexé par u du membre
de droite, on utilise le même développement relatif à
u K
V
. On obtient l’égalité
(5)
M∈L(M0)
|W
M
||W
G
|
−1 X M = 0,
où
X M = τ
(G)
−1 J
G
M (A
M
unip (V, ω), f V ) − τ
(G )
−1
|U S |
−1
u∈US
ω(u)J
G
M (A
M
unip (V,
u
K
M,V
), (
u
f V ) G ,
u
K ,V ).
Avec la définition de 4.3, on récrit
X M = τ
(G)
−1 J
G
M (A
M
unip (V, ω), f V ) − τ
(G )
−1
|U V |
−1
u∈UV
ω(u)J
G
M (A
M
unip;M,ω,S (V ), (
u f V ) G ,
u K ,V ).
Soit M ∈ L(M 0 ). Les distributions et intégrales orbitales pondérées intervenant
dépendent de mesures sur A G , A M , A G et A M . L’homomorphisme q définit un
isomorphisme de A M /A G sur A M /A G . On peut supposer que cet isomorphisme
préserve les mesures. Pour tout γ ∈ D unip (M (F V )), on a alors l’égalité
(6)
J
G
M (ι
∗
M,M (γ), ω, f V ) = |U V |
−1
u∈UV
ω(u)J
G
M (γ, (
u f V ) G ,
u K ,V ).
En effet, on a vu l’égalité analogue dans le cas local en [III] 3.3. Pour obtenir
(5), on peut soit reprendre la preuve de ce cas local, soit utiliser les formules de
scindage habituelles. On laisse les détails au lecteur.
Pour M = G, on peut utiliser la proposition 4.3 par récurrence : pour γ =
τ
(M )
−1 A
M
unip;M,ω,S (V ), on a ι
∗
M,M (γ) = τ
(M )
−1 A
M
unip (V, ω) (notons que la
condition (1) imposée à S implique la même condition quand on remplace G par
M ). En utilisant (6), on transforme X M en
(τ
(G)
−1
− τ
(G )
−1 τ
(M )
−1 τ
(M ))J
G
M (A
M
unip (V, ω), f V ).
On montrera ci-dessous que
(7)
τ
(G)
−1 τ
(M ) = τ
(G )
−1 τ
(M ).
On obtient alors X M = 0 pour tout Levi M = G. L’égalité (5) entraîne alors
X G = 0. D’après les définitions, cela signifie que
τ
(G)
−1 I
G (A
G
unip (V, ω), f V ) = τ
(G )
−1 I
G (A
G
unip;G,ω,S (V ), ι G,G (f V )),