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Chapitre VII. Descente globale
intégrer est constante en z. Puisque le volume de A Z Z(F )\Z(A F ) est fini, il existe
c 3 > 0 tel que l’expression précédente soit égale à
c 3
u∈US
AG 훀 G(F )\G(AF )
ϕ(q(x)u) dx.
Cela démontre l’égalité (2), au calcul près de la constante c 3 . Pour calculer celle-ci,
il suffit d’appliquer la relation obtenue à la fonction ϕ constante de valeur 1.
Preuve de (3). On peut définir
vol(A G q (Δ )\G(F S )) =
AGq (Δ )\G(FS )
dg
ce terme pouvant valoir +∞. L’assertion (3) équivaut à dire que ce volume est
fini. On reprend le calcul ci-dessus en l’appliquant à la fonction ϕ constante de
valeur 1. Il montre que vol(A G q (Δ )\G(F S )) est le produit d’une constante finie
et de vol(A G G (F )\G (A F )). On sait bien que ce dernier volume est fini. Donc
vol(A G q (Δ )\G(F S )) l’est aussi et (3) est vérifiée.
Soit f ∈ C
∞
c (G(A F )). Rappelons qu’en [VI] 2.1, pour un paramètre T ∈ A M0
dans un certain cône, on a défini une fonction g → k
T
unip (f, g) sur Z(G; A F )\G(A F ),
puis l’intégrale
J
T
unip (f, ω) =
AGG(F )\G(AF )
k
T
unip (f, g)ω(g) dg.
Cette expression est asymptote à un polynôme en T , dont on note J
G
unip (f, ω) la
valeur en un certain point T 0 . Tous ces objets, y compris le point T 0 , dépendent
de K =
v∈Val(F ) K v . Si nécessaire, on fait figurer ce groupe dans la notation. En
appliquant (2), on obtient
τ
(G)
−1 J
T
unip (f, ω)
= τ
(G )
−1
|U S |
−1
u∈US
AG G(F )\G(AF )
k
T
unip (f, q(x)u)ω(u) dx
puisque ω est trivial sur q (G (A F )). Pour tout u ∈ U S , on pose
u K = uK u
−1
et on définit une fonction (
u f ) G sur G (A F ) par (
u f ) G (x) = f (u
−1 q(x)u). En
reprenant les définitions de [55], on voit qu’on a l’égalité
k
T
unip (f, q(x)u) = k
G,T −T0+T0(
u K)
unip
((
u f ) G , x,
u K ).
On en déduit l’égalité
(4)
τ
(G)
−1 J
G
unip (f, ω) = τ
(G )
−1
|U S |
−1
u∈US
ω(u)J
G
unip ((
u f ) G ,
u K ).
Chapitre VII. Descente globale
intégrer est constante en z. Puisque le volume de A Z Z(F )\Z(A F ) est fini, il existe
c 3 > 0 tel que l’expression précédente soit égale à
c 3
u∈US
AG 훀 G(F )\G(AF )
ϕ(q(x)u) dx.
Cela démontre l’égalité (2), au calcul près de la constante c 3 . Pour calculer celle-ci,
il suffit d’appliquer la relation obtenue à la fonction ϕ constante de valeur 1.
Preuve de (3). On peut définir
vol(A G q (Δ )\G(F S )) =
AGq (Δ )\G(FS )
dg
ce terme pouvant valoir +∞. L’assertion (3) équivaut à dire que ce volume est
fini. On reprend le calcul ci-dessus en l’appliquant à la fonction ϕ constante de
valeur 1. Il montre que vol(A G q (Δ )\G(F S )) est le produit d’une constante finie
et de vol(A G G (F )\G (A F )). On sait bien que ce dernier volume est fini. Donc
vol(A G q (Δ )\G(F S )) l’est aussi et (3) est vérifiée.
Soit f ∈ C
∞
c (G(A F )). Rappelons qu’en [VI] 2.1, pour un paramètre T ∈ A M0
dans un certain cône, on a défini une fonction g → k
T
unip (f, g) sur Z(G; A F )\G(A F ),
puis l’intégrale
J
T
unip (f, ω) =
AGG(F )\G(AF )
k
T
unip (f, g)ω(g) dg.
Cette expression est asymptote à un polynôme en T , dont on note J
G
unip (f, ω) la
valeur en un certain point T 0 . Tous ces objets, y compris le point T 0 , dépendent
de K =
v∈Val(F ) K v . Si nécessaire, on fait figurer ce groupe dans la notation. En
appliquant (2), on obtient
τ
(G)
−1 J
T
unip (f, ω)
= τ
(G )
−1
|U S |
−1
u∈US
AG G(F )\G(AF )
k
T
unip (f, q(x)u)ω(u) dx
puisque ω est trivial sur q (G (A F )). Pour tout u ∈ U S , on pose
u K = uK u
−1
et on définit une fonction (
u f ) G sur G (A F ) par (
u f ) G (x) = f (u
−1 q(x)u). En
reprenant les définitions de [55], on voit qu’on a l’égalité
k
T
unip (f, q(x)u) = k
G,T −T0+T0(
u K)
unip
((
u f ) G , x,
u K ).
On en déduit l’égalité
(4)
τ
(G)
−1 J
G
unip (f, ω) = τ
(G )
−1
|U S |
−1
u∈US
ω(u)J
G
unip ((
u f ) G ,
u K ).