VII.4. Distributions à support unipotent
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Cette condition est vérifiée si S est assez grand. On va prouver l’assertion de
la proposition pour un tel S. On pose U S =
v∈S U v .
Soit ϕ une fonction intégrable sur G(F )A G \G(A F ). On suppose qu’elle est
invariante à droite par Z(G)
0 (A F )K
S . Montrons qu’on a l’égalité
(2)
τ
(G)
−1
AGG(F )\G(AF )
ϕ(g) dg
= τ
(G )
−1
|U S |
−1
u∈US
AG G(F )\G(AF )
ϕ(q(x)u) dx.
Preuve. On commence par faire un calcul à des constantes multiplicatives près,
étant entendu que ces constantes ne dépendent pas de ϕ. Notons Δ la projection
dans G(F S ) de G(F ) ∩ (G(F S ) × K
S ) et définissons de même Δ . En vertu de (1)
et de l’invariance de ϕ par K
S , on a l’égalité
AGG(F )\G(AF )
ϕ(g) dg =
AGΔ\G(FS)
ϕ(g) dg.
On montrera ci-dessous que
(3) q (Δ ) est d’indice fini dans Δ.
Il existe donc c 1 > 0 tel que l’intégrale précédente soit égale à
c 1
AGq (Δ )\G(FS )
ϕ(g) dg.
Les hypothèses entraînent que A G = q (A G ).
Puisque G(F S ) = u∈US q (G (F S ))u, on peut décomposer l’intégrale précédente en
c 1
u∈US
q (AG Δ )\q (G (FS ))
ϕ(gu) dg.
Puisque G (F S ) → q (G (F S )) est un honnête revêtement, il existe une constante
c 2 > 0 tel que l’expression précédente soit égale à
c 2
u∈US
AG Δ \G (FS )
ϕ(q (y)u) dy.
En utilisant (1) et l’invariance de la fonction à intégrer par K
S
, on peut reconstituer cette expression comme
c 2
u∈US
AG G (F )\G (AF )
ϕ(q (y)u) dy.
Les intégrales se décomposent en produit d’intégrales sur z ∈ A Z Z(F )\Z(A F ) et
sur x ∈ A G G (F )\G (A F ). D’après l’hypothèse d’invariance de ϕ, la fonction à