800
Chapitre VII. Descente globale
Celui-ci se restreint en un homomorphisme
ι
∗
G,G : D unip (G (F V )) → D unip (G(F V ), ω).
On a fixé les mesures en 4.1, la distribution A
G
unip (V, ω) est donc un élément de
D unip (G(F V ), ω). Elle dépend de la mesure fixée sur A G , mais τ
(G)
−1 A
G
unip (V, ω)
n’en dépend pas. Elle dépend du groupe K
V =
v ∈V K v . Si nécessaire, on fait
figurer ce groupe dans la notation. Pour le groupe G et pour v ∈ V , on choisit
pour sous-groupe hyperspécial K ,v de G (F v ) le groupe tel que K ,v et K v fixent
le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe G AD . Autrement
dit K ,v = q
−1 (K v ). Soit S un sous-ensemble fini de places de F contenant V .
Choisissons un ensemble de représentants U
V
S du quotient
q (G (F
V
S )\G(F
V
S ).
Pour u = (u v ) v∈S−V ∈ U
V
S , posons
u K
V
=
v ∈S
K ,v
v∈S−V
u v K ,v u
−1
v
.
Posons
A
G
unip;G,ω,S (V ) = |U
V
S |
−1
u∈U V
S
ω(u)A
G
unip (V,
u K
V
).
Cela ne dépend pas du choix de l’ensemble de représentants.
Proposition. Si l’ensemble S est assez grand, la distribution τ
(G)
−1 A
G
unip (V, ω)
est l’image par l’homomorphisme ι
∗
G,G de τ
(G )
−1 A
G
unip;G,ω,S (V ).
VII.4.4 Preuve de la proposition 4.3
On doit commencer par quelques préliminaires. De tout Levi M de G se déduisent
des Levi M = q
−1
(M ) et M = q
−1 (M ) de G et G . Pour v ∈ Val(F ), on pose
K ,v = q
−1 (K v ) et K ,v = q
−1
(K v ). On note K
M
v = M (F v ) ∩ K v . On rappelle que
l’on a fixé un Levi minimal M 0 . On a l’égalité
q (M 0,, (F v ))\M 0 (F v ) = q (G (F v ))\G(F v ).
On fixe un ensemble de représentants U v de ce quotient, contenu dans M 0 (F v ).
Considérons un ensemble fini S de places de F , contenant V et tel que :
(1) pour tout M ∈ L(M 0 ), on a les égalités
M (A F ) = M (F )(M (F S ) × K
M,S ),
M (A F ) = M (F )(M (F S ) × K
M ,S
).