VII.4. Distributions à support unipotent
799
VII.4.3 Coefficients et revêtement
Dans la suite de cette section, on considère un triplet (G, ˜
G, a) tel que ˜
G = G. Mais
on n’impose pas que a = 1. On impose toutefois que ω est trivial sur Z(G; A F ). On
suppose ˜
K v = K v pour tout v ∈ V ram . On considère un sous-tore Z ⊂ Z(G) et un
groupe réductif connexe G . On suppose donné un homomorphisme q : G → G.
Ces trois données sont définies sur F . On pose G = Z × G et on prolonge q
par l’identité sur Z. On obtient ainsi un homomorphisme noté q : G → G. On
suppose qu’il s’inscrit dans une suite exacte
1 → Ξ → G
q
→ G → 1
où Ξ est un sous-groupe fini central. On suppose que ω est trivial sur q(G (A F )).
On fixe un ensemble fini V de places de F tel que G et G soient non ramifiés hors
de V et tel que le nombre d’éléments de Ξ soit premier à tout nombre premier
divisant une place v ∈ V .
Exemple. On peut prendre Z = Z(G)
0 , G = G SC et V ⊃ V ram . Ces données
vérifient les conditions ci-dessus.
On note Ξ la projection de Ξ dans G . Pour toute place v ∈ V , fixons un
voisinage ouvert Ω ,v de 1 dans G (F v ). On suppose que x appartient à Ω ,v si et
seulement si la partie semi-simple de x appartient à Ω ,v . On suppose que, si x et
x
sont deux éléments de G (F v ) qui sont conjugués par un élément de G ( ¯
F v ),
alors x ∈ Ω ,v si et seulement si x
∈ Ω ,v . On suppose enfin que, si ξ ∈ Ξ(F v ) est
différent de 1, alors Ω ,v ∩ ξΩ ,v = ∅. On pose Ω v = q (Z(F v ) × Ω ,v ). On pose
Ω V =
v∈V Ω v , Ω ,V =
v∈V Ω ,v . Fixons un ensemble de représentants U V du
quotient fini
q (G (F V ))\G(F V ).
Pour f ∈ C
∞
c (Ω V ) et u ∈ U V , on définit la fonction (
u f ) G sur Ω ,V par
(
u f ) G (x) = f (u
−1 q(x)u)
pour tout x ∈ Ω ,V . On pose
(1)
ι G,G (f ) = |U V |
−1
u∈UV
ω(u)(
u f ) G .
Cette application est le produit sur les places v ∈ V de celles que l’on a définies et
étudiées en [III] 3.1. Elle dépend du choix de U V , mais il s’en déduit une application
ι G,G : I(Ω V , ω) → I(Ω ,V )
qui n’en dépend pas (les notations sont celles de [III] 3.1, adaptées à un ensemble
fini de places). Elles sont aussi compatibles, en un sens facile à préciser, à un
changement de voisinage Ω ,V . Il s’en déduit dualement un homomorphisme
D g´ eom (Ω ,V ) → D g´ eom (Ω V , ω).
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VII.4.3 Coefficients et revêtement
Dans la suite de cette section, on considère un triplet (G, ˜
G, a) tel que ˜
G = G. Mais
on n’impose pas que a = 1. On impose toutefois que ω est trivial sur Z(G; A F ). On
suppose ˜
K v = K v pour tout v ∈ V ram . On considère un sous-tore Z ⊂ Z(G) et un
groupe réductif connexe G . On suppose donné un homomorphisme q : G → G.
Ces trois données sont définies sur F . On pose G = Z × G et on prolonge q
par l’identité sur Z. On obtient ainsi un homomorphisme noté q : G → G. On
suppose qu’il s’inscrit dans une suite exacte
1 → Ξ → G
q
→ G → 1
où Ξ est un sous-groupe fini central. On suppose que ω est trivial sur q(G (A F )).
On fixe un ensemble fini V de places de F tel que G et G soient non ramifiés hors
de V et tel que le nombre d’éléments de Ξ soit premier à tout nombre premier
divisant une place v ∈ V .
Exemple. On peut prendre Z = Z(G)
0 , G = G SC et V ⊃ V ram . Ces données
vérifient les conditions ci-dessus.
On note Ξ la projection de Ξ dans G . Pour toute place v ∈ V , fixons un
voisinage ouvert Ω ,v de 1 dans G (F v ). On suppose que x appartient à Ω ,v si et
seulement si la partie semi-simple de x appartient à Ω ,v . On suppose que, si x et
x
sont deux éléments de G (F v ) qui sont conjugués par un élément de G ( ¯
F v ),
alors x ∈ Ω ,v si et seulement si x
∈ Ω ,v . On suppose enfin que, si ξ ∈ Ξ(F v ) est
différent de 1, alors Ω ,v ∩ ξΩ ,v = ∅. On pose Ω v = q (Z(F v ) × Ω ,v ). On pose
Ω V =
v∈V Ω v , Ω ,V =
v∈V Ω ,v . Fixons un ensemble de représentants U V du
quotient fini
q (G (F V ))\G(F V ).
Pour f ∈ C
∞
c (Ω V ) et u ∈ U V , on définit la fonction (
u f ) G sur Ω ,V par
(
u f ) G (x) = f (u
−1 q(x)u)
pour tout x ∈ Ω ,V . On pose
(1)
ι G,G (f ) = |U V |
−1
u∈UV
ω(u)(
u f ) G .
Cette application est le produit sur les places v ∈ V de celles que l’on a définies et
étudiées en [III] 3.1. Elle dépend du choix de U V , mais il s’en déduit une application
ι G,G : I(Ω V , ω) → I(Ω ,V )
qui n’en dépend pas (les notations sont celles de [III] 3.1, adaptées à un ensemble
fini de places). Elles sont aussi compatibles, en un sens facile à préciser, à un
changement de voisinage Ω ,V . Il s’en déduit dualement un homomorphisme
D g´ eom (Ω ,V ) → D g´ eom (Ω V , ω).