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Chapitre VII. Descente globale
est aussi exacte. De ces deux faits, on déduit par un argument familier que la suite
1 → K C1,v → K 1,v → K v → 1
est aussi exacte. D’après la compatibilité des mesures, on a
mes(K C1,v , dc 1,v ) mes(K, dg) = mes(K 1 , dg 1 ).
La première assertion de (i) résulte alors de la formule (1) du paragraphe précédent.
Considérons la situation (2). On a un isomorphisme
g 1 ⊕ g 2 g.
On peut supposer que la forme différentielle fixée sur g est le produit des formes
différentielles fixées sur g 1 et sur g 2 . Pour toute place v, l’isomorphisme
g 1 (F v ) ⊕ g 2 (F v ) g(F v )
est alors compatible aux mesures déduites de ces formes. Donc le revêtement
G 1 (F v ) × G 2 (F v ) → G(F v )
préserve localement ces mesures. Pour prouver le (ii) du lemme, il suffit de prouver
que la constante figurant dans la formule (2) du paragraphe précédent pour G est
le produit des constantes pour G 1 et pour G 2 . On a l’égalité ρ G = ρ G1 ⊕ ρ G2 , les
constantes provenant des fonctions L sont donc compatibles. Soit v ∈ V . On peut
de nouveau supposer que les sous-groupes hyperspéciaux de G 1 (F v )×G 2 (F v ) et de
G(F v ) fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe G AD .
L’hypothèse que |Ξ| est premier à la caractéristique résiduelle de F v entraîne que
l’on a l’égalité
k v = k 1,v ⊕ k 2,v
et que la suite
1 → Ξ → K 1,v × K 2,v → K v → 1
est exacte. L’égalité ci-dessus entraîne
(1)
mes(p v k v ) = mes(p v k 1,v ) mes(p v k 2,v ).
La suite exacte ci-dessus, jointe au théorème de Lang, entraîne l’exactitude de la
suite
1 → Ξ
Γ
nr
v
→ K 1,v (F v ) × K 2,v (F v ) → K(F v ) → H
1 (Γ
nr
v ; Ξ) → 1.
On vérifie facilement l’égalité
|Ξ
Γ
nr
v | = |H
1 (Γ
nr
v ; Ξ)|
qui est valable pour tout Γ
nr
v -module abélien fini Ξ. D’où
(2)
|K 1,v (F v ) × K 2,v (F v )| = |K(F v )|.
Les égalités (1) et (2) entraînent l’égalité requise des constantes.
Chapitre VII. Descente globale
est aussi exacte. De ces deux faits, on déduit par un argument familier que la suite
1 → K C1,v → K 1,v → K v → 1
est aussi exacte. D’après la compatibilité des mesures, on a
mes(K C1,v , dc 1,v ) mes(K, dg) = mes(K 1 , dg 1 ).
La première assertion de (i) résulte alors de la formule (1) du paragraphe précédent.
Considérons la situation (2). On a un isomorphisme
g 1 ⊕ g 2 g.
On peut supposer que la forme différentielle fixée sur g est le produit des formes
différentielles fixées sur g 1 et sur g 2 . Pour toute place v, l’isomorphisme
g 1 (F v ) ⊕ g 2 (F v ) g(F v )
est alors compatible aux mesures déduites de ces formes. Donc le revêtement
G 1 (F v ) × G 2 (F v ) → G(F v )
préserve localement ces mesures. Pour prouver le (ii) du lemme, il suffit de prouver
que la constante figurant dans la formule (2) du paragraphe précédent pour G est
le produit des constantes pour G 1 et pour G 2 . On a l’égalité ρ G = ρ G1 ⊕ ρ G2 , les
constantes provenant des fonctions L sont donc compatibles. Soit v ∈ V . On peut
de nouveau supposer que les sous-groupes hyperspéciaux de G 1 (F v )×G 2 (F v ) et de
G(F v ) fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe G AD .
L’hypothèse que |Ξ| est premier à la caractéristique résiduelle de F v entraîne que
l’on a l’égalité
k v = k 1,v ⊕ k 2,v
et que la suite
1 → Ξ → K 1,v × K 2,v → K v → 1
est exacte. L’égalité ci-dessus entraîne
(1)
mes(p v k v ) = mes(p v k 1,v ) mes(p v k 2,v ).
La suite exacte ci-dessus, jointe au théorème de Lang, entraîne l’exactitude de la
suite
1 → Ξ
Γ
nr
v
→ K 1,v (F v ) × K 2,v (F v ) → K(F v ) → H
1 (Γ
nr
v ; Ξ) → 1.
On vérifie facilement l’égalité
|Ξ
Γ
nr
v | = |H
1 (Γ
nr
v ; Ξ)|
qui est valable pour tout Γ
nr
v -module abélien fini Ξ. D’où
(2)
|K 1,v (F v ) × K 2,v (F v )| = |K(F v )|.
Les égalités (1) et (2) entraînent l’égalité requise des constantes.