VII.4. Distributions à support unipotent
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de F tel que G 1 , G 2 et G soient non ramifiés hors de V et tel que le nombre
d’éléments de Ξ soit premier à p pour tout nombre premier p divisant une
place hors de V .
Lemme.
(i) Dans la situation (1), la suite exacte
1 → C 1 (F V ) → G 1 (F V ) → G(F V ) → 1
est compatible aux mesures. On a l’égalité τ
(G 1 ) = τ
(C 1 )τ
(G).
(ii) Dans la situation (2), le revêtement
G 1 (F V ) × G 2 (F V ) → G(F V )
préserve localement les mesures.
Preuve. On effectue les constructions du paragraphe précédent en adaptant les
notations de façon évidente.
Considérons la situation (1). Fixons un isomorphisme d’algèbres de Lie
g 1 = c 1 ⊕ g.
On fixe des formes différentielles de degré maximal sur c 1 et g, définies sur F et
non nulles. Par produit tensoriel, on en déduit une telle forme sur g 1 . Pour chaque
place v, on associe à ces formes des mesures de Haar sur C 1 (F v ), G 1 (F v ) et G(F v )
comme dans le paragraphe précédent. La suite
1 → C 1 (F v ) → G 1 (F v ) → G(F v ) → 1
est compatible à ces mesures. On a aussi ρ G1 = ρ C1 ⊕ ρ G . On en déduit que la
suite
1 → C 1 (A F ) → G 1 (A F ) → G(A F ) → 1
est compatible aux mesures de Tamagawa. La dernière assertion du (i) résulte
alors de [68] théorème 5.3 (dont l’énoncé se simplifie grâce à l’hypothèse que C 1
est induit). Pour v ∈ V , le sous-groupe compact hyperspécial K C1,v de C 1 (F v ) est
unique et on peut choisir des sous-groupes compacts hyperspéciaux dans G 1 (F v )
et G(F v ) qui fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe
G 1,AD = G AD . Alors la suite
1 → K C1,v → K 1,v → K v → 1
est exacte. Le théorème de Lang entraîne que la suite déduite
1 → K C1,v (F v ) → K 1,v (F v ) → K v (F v ) → 1
est exacte. La suite
0 → k C1,v → k 1,v → k v → 0
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de F tel que G 1 , G 2 et G soient non ramifiés hors de V et tel que le nombre
d’éléments de Ξ soit premier à p pour tout nombre premier p divisant une
place hors de V .
Lemme.
(i) Dans la situation (1), la suite exacte
1 → C 1 (F V ) → G 1 (F V ) → G(F V ) → 1
est compatible aux mesures. On a l’égalité τ
(G 1 ) = τ
(C 1 )τ
(G).
(ii) Dans la situation (2), le revêtement
G 1 (F V ) × G 2 (F V ) → G(F V )
préserve localement les mesures.
Preuve. On effectue les constructions du paragraphe précédent en adaptant les
notations de façon évidente.
Considérons la situation (1). Fixons un isomorphisme d’algèbres de Lie
g 1 = c 1 ⊕ g.
On fixe des formes différentielles de degré maximal sur c 1 et g, définies sur F et
non nulles. Par produit tensoriel, on en déduit une telle forme sur g 1 . Pour chaque
place v, on associe à ces formes des mesures de Haar sur C 1 (F v ), G 1 (F v ) et G(F v )
comme dans le paragraphe précédent. La suite
1 → C 1 (F v ) → G 1 (F v ) → G(F v ) → 1
est compatible à ces mesures. On a aussi ρ G1 = ρ C1 ⊕ ρ G . On en déduit que la
suite
1 → C 1 (A F ) → G 1 (A F ) → G(A F ) → 1
est compatible aux mesures de Tamagawa. La dernière assertion du (i) résulte
alors de [68] théorème 5.3 (dont l’énoncé se simplifie grâce à l’hypothèse que C 1
est induit). Pour v ∈ V , le sous-groupe compact hyperspécial K C1,v de C 1 (F v ) est
unique et on peut choisir des sous-groupes compacts hyperspéciaux dans G 1 (F v )
et G(F v ) qui fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe
G 1,AD = G AD . Alors la suite
1 → K C1,v → K 1,v → K v → 1
est exacte. Le théorème de Lang entraîne que la suite déduite
1 → K C1,v (F v ) → K 1,v (F v ) → K v (F v ) → 1
est exacte. La suite
0 → k C1,v → k 1,v → k v → 0