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Chapitre VII. Descente globale
isomorphisme p v k v → K
1
v qui préserve les mesures. La formule précédente se récrit
sous la forme suivante : notre mesure dg
T am
V
sur G(F V ) est égale à
(2)
(
V
G )
−1
v ∈V
L v (ρ G , 1)|K v (F v )| mes(p v k v , dX v )
v∈V
dg v .
Jusqu’à la fin du chapitre, pour tout groupe G et tout ensemble V de places
comme ci-dessus, on munit G(A F ) et G(F V ) des mesures de Tamagawa. Cela
nous débarrasse des espaces de mesures.
On a aussi besoin d’une mesure sur A G . Rappelons la normalisation habituelle
dans le cadre des mesures de Tamagawa. Identifions A G à Hom(X
∗ (G)
ΓF , R),
où X
∗ (G) est le groupe des caractères algébriques de G. On définit le réseau
A G,Z = Hom(X
∗ (G)
ΓF , Z). La mesure «de Tamagawa» sur A G est celle pour
laquelle ce réseau est de covolume 1. Si on munit G(A F ) de la mesure de Tamagawa
et que l’on choisit cette mesure sur A G , on sait que la mesure de
A G G(F )\G(A F )
est égale au terme τ (G) défini en 3.2. Mais cette normalisation est peu commode.
Par exemple, elle n’est pas compatible avec la situation de 4.2(2) ci-dessous. On fixe
donc la mesure sur A G sans supposer qu’il s’agit de la mesure de Tamagawa. On
note covol(A G,Z ) le covolume de ce réseau et τ
(G) la mesure de A G G(F )\G(A F )
calculée à l’aide de notre mesure sur A G . On a alors l’égalité
(3)
τ
(G) = covol(A G,Z )
−1 τ (G).
VII.4.2 Compatibilité des mesures
Considérons les deux situations suivantes.
(1) On se donne une suite exacte
1 → C 1 → G 1 → G → 1
de groupes réductifs connexes définis sur F , où C 1 est un tore central induit.
On a une suite exacte
1 → A C1 → A G1 → A G → 1.
On suppose qu’elle est compatible aux mesures. On fixe un ensemble fini V
de places de F tel que les trois groupes soient non ramifiés hors de V .
(2) On se donne une suite exacte
1 → Ξ → G 1 × G 2 → G → 1
où G 1 , G 2 et G sont des groupes réductifs connexes définis sur F et Ξ est
un sous-groupe fini central de G 1 × G 2 . On fixe un ensemble fini V de places
Chapitre VII. Descente globale
isomorphisme p v k v → K
1
v qui préserve les mesures. La formule précédente se récrit
sous la forme suivante : notre mesure dg
T am
V
sur G(F V ) est égale à
(2)
(
V
G )
−1
v ∈V
L v (ρ G , 1)|K v (F v )| mes(p v k v , dX v )
v∈V
dg v .
Jusqu’à la fin du chapitre, pour tout groupe G et tout ensemble V de places
comme ci-dessus, on munit G(A F ) et G(F V ) des mesures de Tamagawa. Cela
nous débarrasse des espaces de mesures.
On a aussi besoin d’une mesure sur A G . Rappelons la normalisation habituelle
dans le cadre des mesures de Tamagawa. Identifions A G à Hom(X
∗ (G)
ΓF , R),
où X
∗ (G) est le groupe des caractères algébriques de G. On définit le réseau
A G,Z = Hom(X
∗ (G)
ΓF , Z). La mesure «de Tamagawa» sur A G est celle pour
laquelle ce réseau est de covolume 1. Si on munit G(A F ) de la mesure de Tamagawa
et que l’on choisit cette mesure sur A G , on sait que la mesure de
A G G(F )\G(A F )
est égale au terme τ (G) défini en 3.2. Mais cette normalisation est peu commode.
Par exemple, elle n’est pas compatible avec la situation de 4.2(2) ci-dessous. On fixe
donc la mesure sur A G sans supposer qu’il s’agit de la mesure de Tamagawa. On
note covol(A G,Z ) le covolume de ce réseau et τ
(G) la mesure de A G G(F )\G(A F )
calculée à l’aide de notre mesure sur A G . On a alors l’égalité
(3)
τ
(G) = covol(A G,Z )
−1 τ (G).
VII.4.2 Compatibilité des mesures
Considérons les deux situations suivantes.
(1) On se donne une suite exacte
1 → C 1 → G 1 → G → 1
de groupes réductifs connexes définis sur F , où C 1 est un tore central induit.
On a une suite exacte
1 → A C1 → A G1 → A G → 1.
On suppose qu’elle est compatible aux mesures. On fixe un ensemble fini V
de places de F tel que les trois groupes soient non ramifiés hors de V .
(2) On se donne une suite exacte
1 → Ξ → G 1 × G 2 → G → 1
où G 1 , G 2 et G sont des groupes réductifs connexes définis sur F et Ξ est
un sous-groupe fini central de G 1 × G 2 . On fixe un ensemble fini V de places