VII.4. Distributions à support unipotent
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VII.4 Distributions à support unipotent
VII.4.1 Mesures de Tamagawa
Dans ce paragraphe, G est un groupe réductif connexe défini sur F . Pour toute
place finie v de F , on note o v l’anneau des entiers de F v , p v son idéal maximal
et F v le corps résiduel. Pour toute place v ∈ Val(F ), on munit F v d’une mesure
de Haar de sorte que mes(o v ) = 1 pour presque toute place finie v. Le produit
de ces mesures est une mesure sur A F . On suppose que mes(A F /F ) = 1. Fixons
une forme différentielle de degré maximal sur g, définie sur F et non nulle. Pour
toute place v, on déduit de cette forme différentielle et de la mesure sur F v une
mesure dX v sur g(F v ). Rappelons que l’ensemble des mesures de Haar sur g(F v )
s’identifie à celui des mesures de Haar sur G(F v ) : deux mesures se correspondent si
et seulement si le jacobien de l’application exponentielle, calculé pour ces mesures,
vaut 1 au point 0 ∈ g(F v ). On a donc aussi une mesure dg v sur G(F v ). Fixons un
ensemble fini V de places de F , contenant les places archimédiennes, de sorte que
G soit non ramifié hors de V . Notons ρ G la représentation de Γ F dans X
∗ (G)⊗ Z C.
On note L v (ρ G , s) sa fonction L en la place v et L
V (ρ G , s) sa fonction L partielle
hors de V . Notons r l’ordre du pôle en 1 de la fonction L
V (ρ G , s) et posons
V
G = lim
s→1
(s − 1)
r L
V (ρ G , s).
La mesure de Tamagawa sur G(A F ) est par définition égale à
(𨐾
V
G )
−1
v ∈V
L v (ρ G , 1)dg v
⊗
v∈V
dg v
,
ce produit étant convergent.
Conformément à nos définitions de [VI] 1.1, il se déduit de la mesure de
Tamagawa sur G(A F ) une mesure dg
T am
V
sur G(F V ). En effet, fixons pour tout
v ∈ V un sous-groupe compact hyperspécial K v de G(F v ). On a une mesure
canonique dg
can
v
sur G(F v ) telle que la mesure de K v soit 1. Alors dg
T am
V
est la
mesure telle que dg
T am
V
⊗ ⊗ v ∈V dg
can
v
soit la mesure de Tamagawa sur G(A F ).
D’une façon générale, si X est un ensemble muni d’une mesure dx et si Y est un
sous-ensemble mesurable de X, notons mes(Y, dx) la mesure de Y . La définition
entraîne que dg
T am
V
est égale à
(1)
(
V
G )
−1
v ∈V
L v (ρ G , 1) mes(K v , dg v )
v∈V
dg v .
Soit v ∈ V . On sait qu’à K v est associé un schéma en groupes K v sur o v . On note
k v le groupe des points sur o v de son algèbre de Lie. C’est une sous-o v -algèbre de
g(F v ). On note K v la fibre résiduelle de K v . On a un homomorphisme surjectif
K v → K v (F v ) dont on note K
1
v le noyau. Alors l’exponentielle se restreint en un
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VII.4 Distributions à support unipotent
VII.4.1 Mesures de Tamagawa
Dans ce paragraphe, G est un groupe réductif connexe défini sur F . Pour toute
place finie v de F , on note o v l’anneau des entiers de F v , p v son idéal maximal
et F v le corps résiduel. Pour toute place v ∈ Val(F ), on munit F v d’une mesure
de Haar de sorte que mes(o v ) = 1 pour presque toute place finie v. Le produit
de ces mesures est une mesure sur A F . On suppose que mes(A F /F ) = 1. Fixons
une forme différentielle de degré maximal sur g, définie sur F et non nulle. Pour
toute place v, on déduit de cette forme différentielle et de la mesure sur F v une
mesure dX v sur g(F v ). Rappelons que l’ensemble des mesures de Haar sur g(F v )
s’identifie à celui des mesures de Haar sur G(F v ) : deux mesures se correspondent si
et seulement si le jacobien de l’application exponentielle, calculé pour ces mesures,
vaut 1 au point 0 ∈ g(F v ). On a donc aussi une mesure dg v sur G(F v ). Fixons un
ensemble fini V de places de F , contenant les places archimédiennes, de sorte que
G soit non ramifié hors de V . Notons ρ G la représentation de Γ F dans X
∗ (G)⊗ Z C.
On note L v (ρ G , s) sa fonction L en la place v et L
V (ρ G , s) sa fonction L partielle
hors de V . Notons r l’ordre du pôle en 1 de la fonction L
V (ρ G , s) et posons
V
G = lim
s→1
(s − 1)
r L
V (ρ G , s).
La mesure de Tamagawa sur G(A F ) est par définition égale à
(𨐾
V
G )
−1
v ∈V
L v (ρ G , 1)dg v
⊗
v∈V
dg v
,
ce produit étant convergent.
Conformément à nos définitions de [VI] 1.1, il se déduit de la mesure de
Tamagawa sur G(A F ) une mesure dg
T am
V
sur G(F V ). En effet, fixons pour tout
v ∈ V un sous-groupe compact hyperspécial K v de G(F v ). On a une mesure
canonique dg
can
v
sur G(F v ) telle que la mesure de K v soit 1. Alors dg
T am
V
est la
mesure telle que dg
T am
V
⊗ ⊗ v ∈V dg
can
v
soit la mesure de Tamagawa sur G(A F ).
D’une façon générale, si X est un ensemble muni d’une mesure dx et si Y est un
sous-ensemble mesurable de X, notons mes(Y, dx) la mesure de Y . La définition
entraîne que dg
T am
V
est égale à
(1)
(
V
G )
−1
v ∈V
L v (ρ G , 1) mes(K v , dg v )
v∈V
dg v .
Soit v ∈ V . On sait qu’à K v est associé un schéma en groupes K v sur o v . On note
k v le groupe des points sur o v de son algèbre de Lie. C’est une sous-o v -algèbre de
g(F v ). On note K v la fibre résiduelle de K v . On a un homomorphisme surjectif
K v → K v (F v ) dont on note K
1
v le noyau. Alors l’exponentielle se restreint en un