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Chapitre VII. Descente globale
Le théorème [VI] 5.4 affirme l’égalité des deux membres de gauche. D’où l’égalité
des membres de droite, ce qui est l’assertion du théorème 1.10(i).
Sous la même hypothèse, l’égalité du théorème 3.3 est valable pour tout
X ∈ Stab( ˜
G(F )). En effet, comme dans le paragraphe précédent, le membre de
droite de cette égalité est égal à A
˜
G,E (V, X , ω). Le théorème 1.10(i) affirme que ce
terme est égal à A
˜
G (V, X , ω).
VII.3.7 Quelques cas faciles
Soient X ∈ Stab( ˜
G(F )) et V contenant S(X ). On considère les hypothèses suivantes :
(1) V contient S(X , ˜
K) ;
(2) X est elliptique ;
(3) pour toute place v ∈ Val(F ), l’image de X dans Stab( ˜
G(F v )) appartient à
l’image de l’application χ
˜
Gv ;
(4) les restrictions de ω à Z(G; A F )
θ et à Z( ¯
G; A F ) sont triviales.
Lemme. Si l’une de ces hypothèses n’est pas satisfaite, l’égalité du théorème 3.3
est vérifiée, les deux membres étant nuls.
Preuve. Les assertions 1.9 (1), (2) et (3) nous disent que A
˜
G (V, X , ω) = 0 si (1),
resp (2), (4), n’est pas vérifiée. On a aussi A
˜
G (V, X , ω) = 0 par définition si (3)
n’est pas vérifiée car a fortiori X n’est pas dans l’image de χ
˜
G .
Considérons maintenant le membre de droite de l’égalité . Soient G
et X
y
intervenant. Supposons transfert(SA
G
(V, X
)) = 0. On va prouver que les conditions (1) à (4) sont alors vérifiées. Les relations 1.7(3) et (4) nous disent que
S(X
) ⊂ S(X ) ⊂ V et S(X , ˜
K) − S(X ) ⊂ S(X
, ˜
K
) − S(X
). La non-nullité de
SA
G
(V, X
) entraîne S(X
, ˜
K
) ⊂ V d’après 3.2(2). Ces inclusions entraînent (1).
De même, 3.2(2) implique que X
est elliptique, d’où (2) d’après 1.7(2). Notons
O
la classe de conjugaison stable dans ˜
G
(F ) associée à X
. Puisque SA
G
(V, X
)
est à support dans la classe de conjugaison stable O
V dans ˜
G
(F V ) engendrée par
O
, la non-nullité de transfert(SA
G
(V, X
)) entraîne que cette classe correspond
à une classe de conjugaison stable dans ˜
G(F V ). D’après le lemme 1.8, il existe
pour tout v ∈ V une classe O v ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj qui corresponde à O
v et dont
l’image par χ
˜
Gv soit l’image de X dans Stab( ˜
G(F v )). Puisqu’on a déjà prouvé que
(1) était vérifiée, le lemme 1.8(2) entraîne la même propriété pour v ∈ V . Cela
entraîne (3). Cela entraîne aussi que, pour toute place v, on peut fixer un diagramme (, B
, T
, B, T, η) défini sur F v , avec ∈ ˜
G
ss (F v ) et η ∈ O v . D’après [48]
lemme 4.4.C, ω est trivial sur T
θ,0 (F v ). A fortiori ω est trivial sur le sous-groupe
Z(G η ; F v ) ⊂ T
θ,0 (F v ). Cela équivaut à ce que la restriction de ω à Z( ¯
G; F v ) soit
triviale. Enfin, l’existence de G
entraîne que ω est trivial sur Z(G; A F )
θ (cf. par
exemple [I] lemme 2.7). Cela vérifie la condition (4).
Chapitre VII. Descente globale
Le théorème [VI] 5.4 affirme l’égalité des deux membres de gauche. D’où l’égalité
des membres de droite, ce qui est l’assertion du théorème 1.10(i).
Sous la même hypothèse, l’égalité du théorème 3.3 est valable pour tout
X ∈ Stab( ˜
G(F )). En effet, comme dans le paragraphe précédent, le membre de
droite de cette égalité est égal à A
˜
G,E (V, X , ω). Le théorème 1.10(i) affirme que ce
terme est égal à A
˜
G (V, X , ω).
VII.3.7 Quelques cas faciles
Soient X ∈ Stab( ˜
G(F )) et V contenant S(X ). On considère les hypothèses suivantes :
(1) V contient S(X , ˜
K) ;
(2) X est elliptique ;
(3) pour toute place v ∈ Val(F ), l’image de X dans Stab( ˜
G(F v )) appartient à
l’image de l’application χ
˜
Gv ;
(4) les restrictions de ω à Z(G; A F )
θ et à Z( ¯
G; A F ) sont triviales.
Lemme. Si l’une de ces hypothèses n’est pas satisfaite, l’égalité du théorème 3.3
est vérifiée, les deux membres étant nuls.
Preuve. Les assertions 1.9 (1), (2) et (3) nous disent que A
˜
G (V, X , ω) = 0 si (1),
resp (2), (4), n’est pas vérifiée. On a aussi A
˜
G (V, X , ω) = 0 par définition si (3)
n’est pas vérifiée car a fortiori X n’est pas dans l’image de χ
˜
G .
Considérons maintenant le membre de droite de l’égalité . Soient G
et X
y
intervenant. Supposons transfert(SA
G
(V, X
)) = 0. On va prouver que les conditions (1) à (4) sont alors vérifiées. Les relations 1.7(3) et (4) nous disent que
S(X
) ⊂ S(X ) ⊂ V et S(X , ˜
K) − S(X ) ⊂ S(X
, ˜
K
) − S(X
). La non-nullité de
SA
G
(V, X
) entraîne S(X
, ˜
K
) ⊂ V d’après 3.2(2). Ces inclusions entraînent (1).
De même, 3.2(2) implique que X
est elliptique, d’où (2) d’après 1.7(2). Notons
O
la classe de conjugaison stable dans ˜
G
(F ) associée à X
. Puisque SA
G
(V, X
)
est à support dans la classe de conjugaison stable O
V dans ˜
G
(F V ) engendrée par
O
, la non-nullité de transfert(SA
G
(V, X
)) entraîne que cette classe correspond
à une classe de conjugaison stable dans ˜
G(F V ). D’après le lemme 1.8, il existe
pour tout v ∈ V une classe O v ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj qui corresponde à O
v et dont
l’image par χ
˜
Gv soit l’image de X dans Stab( ˜
G(F v )). Puisqu’on a déjà prouvé que
(1) était vérifiée, le lemme 1.8(2) entraîne la même propriété pour v ∈ V . Cela
entraîne (3). Cela entraîne aussi que, pour toute place v, on peut fixer un diagramme (, B
, T
, B, T, η) défini sur F v , avec ∈ ˜
G
ss (F v ) et η ∈ O v . D’après [48]
lemme 4.4.C, ω est trivial sur T
θ,0 (F v ). A fortiori ω est trivial sur le sous-groupe
Z(G η ; F v ) ⊂ T
θ,0 (F v ). Cela équivaut à ce que la restriction de ω à Z( ¯
G; F v ) soit
triviale. Enfin, l’existence de G
entraîne que ω est trivial sur Z(G; A F )
θ (cf. par
exemple [I] lemme 2.7). Cela vérifie la condition (4).