VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes
793
Preuve. On peut supposer que (G, ˜
G, a) n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, sinon les théorèmes 1.10(i) et [VI] 5.4 sont tautologiques. Soit X ∈
Stab( ˜
G(F )) − Stab excep ( ˜
G(F )), supposons d’abord S(X ) ⊂ V . Comme dans
le paragraphe précédent, les hypothèses de récurrence permettent d’appliquer le
théorème 3.2, cette fois pour tout G
. Alors l’égalité du théorème 3.3 devient
A
˜
G (V, X , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
X ∈Stab(G (F ));X →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)).
En comparant avec 1.10(3), on obtient
A
˜
G (V, X , ω) = A
˜
G,E (V, X , ω).
Cela démontre le théorème 1.10(i) sous la restriction S(X ) ⊂ V . Celle-ci disparaît
grâce au corollaire 2.5. Cela prouve (i).
L’application Stab( ˜
G(F )) → Stab( ˜
G(F V )) envoie Stab excep ( ˜
G(F )) dans
Stab excep ( ˜
G(F V )). Pour une classe O V qui est paramétrée par un élément de
Stab( ˜
G(F V )) qui n’est pas exceptionnel, les X qui interviennent dans les formules
(i) et (ii) de la proposition 1.12 ne sont donc pas exceptionnels. Le théorème 1.10(i)
déjà démontré pour les éléments non exceptionnels implique que les membres de
droite de ces deux formules sont égaux. D’où l’égalité des membres de gauche, ce
qui est l’assertion du théorème [VI] 5.4.
VII.3.6 Le théorème [VI] 5.4 implique le théorème 1.10(i)
et étend le théorème 3.3
A la fin du présent chapitre, nous aurons démontré le théorème 3.3, avec ses
conséquences décrites dans les deux paragraphes précédents. Nous compléterons
ultérieurement la preuve du théorème [VI] 5.4, c’est-à-dire nous le démontrerons pour les classes O V paramétrées par des éléments de Stab excep ( ˜
G(F V )).
Montrons que cela suffira pour compléter la preuve du théorème 1.10(i). Soit
X ∈ Stab( ˜
G(F )). Si X n’est pas exceptionnel, on a vu ci-dessus que l’assertion
du théorème 1.10(i) résultait du théorème 3.3. Supposons X ∈ Stab excep ( ˜
G(F )).
Cet élément paramètre une classe de conjugaison stable O. Il s’envoie sur un
élément X V ∈ Stab excep ( ˜
G(F V )), qui paramètre la classe O V . En général, l’application Stab( ˜
G(F )) → Stab( ˜
G(F V )) n’est pas injective. Mais ici, la fibre de cette
application au-dessus de X V est réduite à {X }. En effet, le défaut d’injectivité
est dû au fait qu’un cocycle ω ¯
G n’est pas toujours déterminé par ses restrictions
ω ¯
G,v pour v ∈ V . Ici, X est l’image d’un couple (μ, ω ¯
G ) tel que μ ∈ Z( ˜
G)
ΓF .
On a W (μ) = W
θ
∗ tout entier et tout cocycle ω
¯
G
complétant μ en un élément
(μ, ω
¯
G
) ∈ Stab( ˜
G(F )) est forcément trivial. Les assertions (i) et (ii) de la proposition 1.12 se réduisent aux égalités
A
˜
G (V, O V , ω) = A
˜
G (V, X , ω),
A
˜
G,E (V, O V , ω) = A
˜
G,E (V, X , ω).
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Preuve. On peut supposer que (G, ˜
G, a) n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, sinon les théorèmes 1.10(i) et [VI] 5.4 sont tautologiques. Soit X ∈
Stab( ˜
G(F )) − Stab excep ( ˜
G(F )), supposons d’abord S(X ) ⊂ V . Comme dans
le paragraphe précédent, les hypothèses de récurrence permettent d’appliquer le
théorème 3.2, cette fois pour tout G
. Alors l’égalité du théorème 3.3 devient
A
˜
G (V, X , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
X ∈Stab(G (F ));X →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)).
En comparant avec 1.10(3), on obtient
A
˜
G (V, X , ω) = A
˜
G,E (V, X , ω).
Cela démontre le théorème 1.10(i) sous la restriction S(X ) ⊂ V . Celle-ci disparaît
grâce au corollaire 2.5. Cela prouve (i).
L’application Stab( ˜
G(F )) → Stab( ˜
G(F V )) envoie Stab excep ( ˜
G(F )) dans
Stab excep ( ˜
G(F V )). Pour une classe O V qui est paramétrée par un élément de
Stab( ˜
G(F V )) qui n’est pas exceptionnel, les X qui interviennent dans les formules
(i) et (ii) de la proposition 1.12 ne sont donc pas exceptionnels. Le théorème 1.10(i)
déjà démontré pour les éléments non exceptionnels implique que les membres de
droite de ces deux formules sont égaux. D’où l’égalité des membres de gauche, ce
qui est l’assertion du théorème [VI] 5.4.
VII.3.6 Le théorème [VI] 5.4 implique le théorème 1.10(i)
et étend le théorème 3.3
A la fin du présent chapitre, nous aurons démontré le théorème 3.3, avec ses
conséquences décrites dans les deux paragraphes précédents. Nous compléterons
ultérieurement la preuve du théorème [VI] 5.4, c’est-à-dire nous le démontrerons pour les classes O V paramétrées par des éléments de Stab excep ( ˜
G(F V )).
Montrons que cela suffira pour compléter la preuve du théorème 1.10(i). Soit
X ∈ Stab( ˜
G(F )). Si X n’est pas exceptionnel, on a vu ci-dessus que l’assertion
du théorème 1.10(i) résultait du théorème 3.3. Supposons X ∈ Stab excep ( ˜
G(F )).
Cet élément paramètre une classe de conjugaison stable O. Il s’envoie sur un
élément X V ∈ Stab excep ( ˜
G(F V )), qui paramètre la classe O V . En général, l’application Stab( ˜
G(F )) → Stab( ˜
G(F V )) n’est pas injective. Mais ici, la fibre de cette
application au-dessus de X V est réduite à {X }. En effet, le défaut d’injectivité
est dû au fait qu’un cocycle ω ¯
G n’est pas toujours déterminé par ses restrictions
ω ¯
G,v pour v ∈ V . Ici, X est l’image d’un couple (μ, ω ¯
G ) tel que μ ∈ Z( ˜
G)
ΓF .
On a W (μ) = W
θ
∗ tout entier et tout cocycle ω
¯
G
complétant μ en un élément
(μ, ω
¯
G
) ∈ Stab( ˜
G(F )) est forcément trivial. Les assertions (i) et (ii) de la proposition 1.12 se réduisent aux égalités
A
˜
G (V, O V , ω) = A
˜
G (V, X , ω),
A
˜
G,E (V, O V , ω) = A
˜
G,E (V, X , ω).