792
Chapitre VII. Descente globale
Puisque G δ est un tore, on a SA
G δ
unip (V ) = A
G δ
unip (V ). Ecrivons (f ⊗ dg) δ = ϕ ⊗ dx.
D’après [VI] 2.2, on a
I
G δ (A
G δ
unip (V ), ϕ ⊗ dx) = mes(A G G δ (F )\G γ (A F ))ϕ(1).
Il résulte de la définition de l’application de descente que
ϕ(1) =
δ ∈ ˙
Y δ
G δ (FV )\G(FV )
f (g
−1 δ
g) dg.
En mettant ces calculs bout à bout, on obtient (1).
Comme on l’expliquera en 4.1, si la mesure dx et la mesure sur A G sont les
mesures de Tamagawa, on a l’égalité mes(A G G δ (F )\G δ (A F )) = τ (G δ ). Alors la
formule (1) se simplifie en
S
˜
G (SA
˜
G (V, O V ), f ⊗ dg) = τ (G)
δ ∈ ˙
Y δ
G δ (FV )\G(FV )
f (g
−1 δ
g) dg.
On retrouve ainsi les formules de [48] et [53].
VII.3.5 Le théorème 3.3 implique presque les théorèmes 1.10(i)
et [VI] 5.4
Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram . On définit l’ensemble
Stab excep ( ˜
G(F V )) de la même façon qu’en 3.3. Il est vide si (G, ˜
G, a) n’est pas
l’un des triplets définis en [III] 6.2. Si (G, ˜
G, a) est l’un de ces triplets,
Stab excep ( ˜
G(F V ))
paramètre les classes de conjugaison stable dans ˜
G(F V ) d’éléments η V = (η v ) v∈V ∈
˜
G ss (F V ) tels que, pour tout v ∈ V , il existe une paire de Borel épinglée E v de G
définie sur F v de sorte que ad ηv conserve E v . L’ensemble Stab excep ( ˜
G(F V )) est en
bijection avec
v∈V Z( ˜
G)
ΓF v . C’est un ensemble fini.
Proposition.
(i) Le théorème 3.3 implique l’assertion du théorème 1.10(i) pour
X ∈ Stab excep ( ˜
G(F )).
(ii) Le théorème 3.3 implique l’assertion du théorème [VI] 5.4 pour toute classe
O V ∈ ˜
G ss (F V )/ st-conj qui est paramétrée par un élément de Stab( ˜
G(F V ))
qui n’appartient pas à Stab excep ( ˜
G(F V )).