VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes
791
Soient G
∈ E( ˜
G, V ) tel que G
= G et X
∈ Stab( ˜
G
(F )) tel que X
→ X.
Comme on l’a dit, on a S(X
) ⊂ S(X ) ⊂ V et on peut appliquer le théorème 3.2
par récurrence : SA
G
(V, X
) = SA
G
(V, X
). L’égalité du théorème 3.3 se récrit
A
˜
G (V, X ) = SA
˜
G (V, X )
+
G
∈E( ˜
G,V ),
G
=G
X
∈Stab(G
(F ));
X
→X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)).
En utilisant la définition 1.10(2), cela entraîne
SA
˜
G (V, X ) = SA
˜
G (V, X ),
ce qui prouve le théorème 3.2.
Grâce au théorème 3.2, les propriétés 3.2(3) et 3.2(4) de la distribution
SA
˜
G (V, X ) impliquent l’assertion du théorème 1.10(ii) sous la restriction S(X ) ⊂
V . Le corollaire 2.5 permet de supprimer cette restriction, d’où le théorème 1.10(ii).
Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram . En utilisant le théorème 1.10(ii), la proposition 1.12(iii) entraîne que SA
˜
G (V, O V ) est stable pour
tout O V ∈ ˜
G ss (F V )/ st-conj et qu’elle ne dépend que des classes de conjugaison
par G AD (F v ) des ˜
K v pour v ∈ V . Ce sont les assertions du théorème [VI] 5.2.
A ce point, on peut remarquer que le théorème 3.2 permet de retrouver la
formule habituelle pour une distribution SA
˜
G (V, O V ) associée à une classe de
conjugaison stable elliptique et fortement régulière. Précisément, considérons un
élément δ ∈ ˜
G(F ) elliptique et fortement régulier. Notons X le paramètre de sa
classe de conjugaison stable. Fixons un ensemble fini V de places de F contenant
S(X , ˜
K). Notons O V la classe de conjugaison stable de δ dans ˜
G(F V ), fixons un
ensemble de représentants ˙
Y δ des classes de conjugaison par G(F V ) contenues
dans O V . Fixons une mesure de Haar dx sur G δ (F V ). Pour δ
∈ ˙
Y δ , G δ (F V ) est
isomorphe à G δ (F V ) et on munit le premier groupe de la mesure correspondant
à dx. Soient f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) et dg une mesure de Haar sur G(F V ). Alors on a
l’égalité
(1)
S
˜
G (SA
˜
G (V, O V ), f ⊗ dg) = τ (G)τ (G δ )
−1 mes(A G G δ (F )\G δ (A F ))
δ ∈ ˙
Y δ
G δ (FV )\G(FV )
f (g
−1 δ
g) dg.
Preuve. Notons X V l’image naturelle de X dans Stab( ˜
G(F V )). La condition de
forte régularité imposée à δ implique que l’ensemble de sommation de la proposition 1.12(iii) est réduit à {X }. Donc SA
˜
G (V, O V ) = SA
˜
G (V, X ). Grâce au
théorème 3.2, ceci est égal à SA
˜
G (V, X ). On utilise la définition de ce terme. Par
forte régularité, le groupe Ξ δ est réduit à {1}. On obtient
S
˜
G (SA
˜
G (V, O V ), f ⊗ dg) = τ (G)τ (G δ )
−1 S
G δ (SA
G δ
unip (V ), (f ⊗ dg) δ ).