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Chapitre VII. Descente globale
Théorème. Pour tout X ∈ Stab( ˜
G(F )) et tout V contenant S(X ), on a l’égalité
SA
˜
G (V, X ) = SA
˜
G (V, X ).
Cela sera démontré en 3.4.
VII.3.3 Enoncé du théorème principal
En [III] 6.2, on a défini certains triplets (G, ˜
G, a) particuliers. Dans cette référence,
le corps de base était local non-archimédien, mais les définitions et résultats valent
aussi bien sur notre corps de nombres. Considérons un tel triplet. Rappelons que G
est quasi-déployé sur F et simplement connexe. On a a = 1. Notons Θ F l’ensemble
des η ∈ ˜
G(F ) tels qu’il existe une paire de Borel épinglée E de G définie sur F de
sorte que ad η conserve E. Cet ensemble n’est pas vide. L’ensemble des classes de
conjugaison stable contenant un élément de Θ F , que l’on note Θ F / st-conj, est en
bijection avec Z( ˜
G)
ΓF . De plus, l’application naturelle
Z( ˜
G) → (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G)
est injective, cf. preuve de [III] 6.2(4). On voit alors que l’ensemble Θ F / st-conj
est paramétré par le sous-ensemble fini Stab excep ( ˜
G(F )) de Stab( ˜
G(F )) défini de
la façon suivante. C’est l’ensemble des (μ, ω ¯
G ) tels que μ appartienne à l’image
de Z( ˜
G)
ΓF par l’application précédente. On a alors W (μ) = W
θ
∗ donc ω ¯
G est
forcément trivial. L’indice excep signifie exceptionnel. Si (G, ˜
G, a) n’est pas l’un
des triplets définis en [III] 6.2, on pose Stab excep ( ˜
G(F )) = ∅.
Considérons un triplet (G, ˜
G, a) quelconque.
Théorème. Soient X ∈ Stab( ˜
G(F )) et V un ensemble fini de places contenant
S(X ). On suppose X ∈ Stab excep ( ˜
G(F )). Alors on a l’égalité
A
˜
G (V, X , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
X ∈Stab(G (F ));X →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)).
D’après 1.7(3), on a S(X
) ⊂ S(X ) ⊂ V pour tout X
intervenant ci-dessus.
Alors les termes SA
G
(V, X
) sont déduits de ceux définis au paragraphe précédent
par les constructions formelles habituelles. La démonstration du théorème occupe
les sections 5 à 8.
VII.3.4 Le théorème 3.3 implique les théorèmes 3.2,
1.10(ii) et [VI] 5.2
On suppose que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. En particulier,
ce n’est pas l’un des triplets définis en [III] 6.2 et l’ensemble Stab excep ( ˜
G(F )) est
vide. Soient X ∈ Stab( ˜
G(F )) et V un ensemble fini de places contenant S(X ).
Chapitre VII. Descente globale
Théorème. Pour tout X ∈ Stab( ˜
G(F )) et tout V contenant S(X ), on a l’égalité
SA
˜
G (V, X ) = SA
˜
G (V, X ).
Cela sera démontré en 3.4.
VII.3.3 Enoncé du théorème principal
En [III] 6.2, on a défini certains triplets (G, ˜
G, a) particuliers. Dans cette référence,
le corps de base était local non-archimédien, mais les définitions et résultats valent
aussi bien sur notre corps de nombres. Considérons un tel triplet. Rappelons que G
est quasi-déployé sur F et simplement connexe. On a a = 1. Notons Θ F l’ensemble
des η ∈ ˜
G(F ) tels qu’il existe une paire de Borel épinglée E de G définie sur F de
sorte que ad η conserve E. Cet ensemble n’est pas vide. L’ensemble des classes de
conjugaison stable contenant un élément de Θ F , que l’on note Θ F / st-conj, est en
bijection avec Z( ˜
G)
ΓF . De plus, l’application naturelle
Z( ˜
G) → (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G)
est injective, cf. preuve de [III] 6.2(4). On voit alors que l’ensemble Θ F / st-conj
est paramétré par le sous-ensemble fini Stab excep ( ˜
G(F )) de Stab( ˜
G(F )) défini de
la façon suivante. C’est l’ensemble des (μ, ω ¯
G ) tels que μ appartienne à l’image
de Z( ˜
G)
ΓF par l’application précédente. On a alors W (μ) = W
θ
∗ donc ω ¯
G est
forcément trivial. L’indice excep signifie exceptionnel. Si (G, ˜
G, a) n’est pas l’un
des triplets définis en [III] 6.2, on pose Stab excep ( ˜
G(F )) = ∅.
Considérons un triplet (G, ˜
G, a) quelconque.
Théorème. Soient X ∈ Stab( ˜
G(F )) et V un ensemble fini de places contenant
S(X ). On suppose X ∈ Stab excep ( ˜
G(F )). Alors on a l’égalité
A
˜
G (V, X , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
X ∈Stab(G (F ));X →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)).
D’après 1.7(3), on a S(X
) ⊂ S(X ) ⊂ V pour tout X
intervenant ci-dessus.
Alors les termes SA
G
(V, X
) sont déduits de ceux définis au paragraphe précédent
par les constructions formelles habituelles. La démonstration du théorème occupe
les sections 5 à 8.
VII.3.4 Le théorème 3.3 implique les théorèmes 3.2,
1.10(ii) et [VI] 5.2
On suppose que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. En particulier,
ce n’est pas l’un des triplets définis en [III] 6.2 et l’ensemble Stab excep ( ˜
G(F )) est
vide. Soient X ∈ Stab( ˜
G(F )) et V un ensemble fini de places contenant S(X ).