VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes
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Rappelons que, pour tout groupe réductif connexe H défini sur F , on pose
τ (H) = |π 0 (Z( ˆ
H)
ΓF )|| ker
1 (F, Z( ˆ
G))|
−1 ,
cf. [VI] 5.1. Supposons
(1)
S(X ) ⊂ V.
On définit une distribution SA
˜
G (V, X ) ∈ D g´ eom ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ de la
façon suivante. Si X n’est pas elliptique ou si V ne contient pas S(X , ˜
K), on pose
SA
˜
G (V, X ) = 0. Supposons
(2)
X est elliptique et S(X , ˜
K) ⊂ V.
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V ))⊗Mes(G(F V )). On restreint f à ˜
U . On considère l’image dans
SI( ˜
U )⊗Mes(G(F V )) de cette restriction. On note f ∈ SI(U )
Ξ
Γ F V
⊗Mes(G (F V ))
l’image de l’élément obtenu par l’isomorphisme desc
st
. On pose
I
˜
G (SA
˜
G (V, X ), f ) = |Ξ
ΓF
|τ (G)τ (G )
−1 S
G (SA
G
unip (V ), f ).
Rappelons que l’on sait que SA
G
unip (V ) est stable et indépendante de tout
choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux, cf. 3.1. Cela donne un sens à cette
définition. Puisque SA
G
unip (V ) est à support unipotent, la définition ne dépend pas
du choix de U . Elle ne dépend pas non plus du choix de . En effet, remplaçons
par
vérifiant les mêmes propriétés. On peut fixer y ∈ G tel que y
−1 y =
et
yσ(y)
−1
∈ G pour tout σ ∈ Γ F . Parce que l’on suppose G et G quasi-déployés,
on peut supposer que ad y −1 envoie une paire de Borel épinglée définie sur F de
G sur une telle paire de de G . Cela entraîne que yσ(y)
−1 appartient au centre
de G . Alors l’isomorphisme ad y −1 : G → G est défini sur F . Cet isomorphisme
identifie SA
G
unip (V ) à SA
G
unip (V ) et f à f . L’indépendance affirmée s’ensuit.
Remarquons que
(3) SA
˜
G (V, X ) est stable.
En effet, si l’image de f dans SI( ˜
G(F V ))⊗Mes(G(F V )) est nulle, alors f = 0.
L’assertion s’ensuit.
La distribution SA
˜
G (V, X ) dépend évidemment de diverses données. Mais,
quant à sa dépendance des espaces hyperspéciaux ˜
K v , on a
(4) SA
˜
G (V, X ) ne dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v
pour v ∈ V .
En effet, la définition ci-dessus ne dépend des ˜
K v pour v ∈ V que par la
condition S(X , ˜
K) ⊂ V . Or, d’après la définition de l’ensemble S(X , ˜
K), cette
condition ne dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v pour
v ∈ V .
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Rappelons que, pour tout groupe réductif connexe H défini sur F , on pose
τ (H) = |π 0 (Z( ˆ
H)
ΓF )|| ker
1 (F, Z( ˆ
G))|
−1 ,
cf. [VI] 5.1. Supposons
(1)
S(X ) ⊂ V.
On définit une distribution SA
˜
G (V, X ) ∈ D g´ eom ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ de la
façon suivante. Si X n’est pas elliptique ou si V ne contient pas S(X , ˜
K), on pose
SA
˜
G (V, X ) = 0. Supposons
(2)
X est elliptique et S(X , ˜
K) ⊂ V.
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V ))⊗Mes(G(F V )). On restreint f à ˜
U . On considère l’image dans
SI( ˜
U )⊗Mes(G(F V )) de cette restriction. On note f ∈ SI(U )
Ξ
Γ F V
⊗Mes(G (F V ))
l’image de l’élément obtenu par l’isomorphisme desc
st
. On pose
I
˜
G (SA
˜
G (V, X ), f ) = |Ξ
ΓF
|τ (G)τ (G )
−1 S
G (SA
G
unip (V ), f ).
Rappelons que l’on sait que SA
G
unip (V ) est stable et indépendante de tout
choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux, cf. 3.1. Cela donne un sens à cette
définition. Puisque SA
G
unip (V ) est à support unipotent, la définition ne dépend pas
du choix de U . Elle ne dépend pas non plus du choix de . En effet, remplaçons
par
vérifiant les mêmes propriétés. On peut fixer y ∈ G tel que y
−1 y =
et
yσ(y)
−1
∈ G pour tout σ ∈ Γ F . Parce que l’on suppose G et G quasi-déployés,
on peut supposer que ad y −1 envoie une paire de Borel épinglée définie sur F de
G sur une telle paire de de G . Cela entraîne que yσ(y)
−1 appartient au centre
de G . Alors l’isomorphisme ad y −1 : G → G est défini sur F . Cet isomorphisme
identifie SA
G
unip (V ) à SA
G
unip (V ) et f à f . L’indépendance affirmée s’ensuit.
Remarquons que
(3) SA
˜
G (V, X ) est stable.
En effet, si l’image de f dans SI( ˜
G(F V ))⊗Mes(G(F V )) est nulle, alors f = 0.
L’assertion s’ensuit.
La distribution SA
˜
G (V, X ) dépend évidemment de diverses données. Mais,
quant à sa dépendance des espaces hyperspéciaux ˜
K v , on a
(4) SA
˜
G (V, X ) ne dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v
pour v ∈ V .
En effet, la définition ci-dessus ne dépend des ˜
K v pour v ∈ V que par la
condition S(X , ˜
K) ⊂ V . Or, d’après la définition de l’ensemble S(X , ˜
K), cette
condition ne dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v pour
v ∈ V .